Endomorphismus/Nilpotent/Jordanzerlegung/Textabschnitt

Für einen nilpotenten Endomorphismus ${}\varphi$ auf einem Vektorraum ${}V$ ist

${}V=\operatorname {Haupt} _{0}(\varphi )\,,$

es gibt also nur einen Hauptraum, und dieser ist der Gesamtraum. Wir werden jetzt zeigen, dass man eine beschreibende Matrix weiter (über die Dreiecksgestalt hinaus) verbessern kann. In der nächsten Vorlesung werden wir diese Verbesserung bei einem trigonalisierbaren Endomorphismus auf den einzelnen Haupträumen durchführen und so zur sogenannten Jordanschen Normalform gelangen.

Beispiel

Eine Matrix der Form

${}M={\begin{pmatrix}0&a\\0&0\end{pmatrix}}\,$

mit

${}a\neq 0\,$

hat bezüglich der Basis ${}ae_{1}$ und ${}e_{2}$ die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei

${}\varphi ^{s}=0\,$

und ${}s$ minimal mit dieser Eigenschaft.

Dann besteht zwischen den Untervektorräumen

${}V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,$

die Beziehung

${}\varphi ^{-1}(V_{i})=V_{i+1}\,$

und die Inklusionen

${}V_{i}\subset V_{i+1}\,$

sind echt für

${}i<s\,.$

Beweis

Es sei ${}v\in V$. Dann ist ${}v\in V_{i+1}=\operatorname {kern} \varphi ^{i+1}$ äquivalent zu ${}\varphi (v)\in V_{i}=\operatorname {kern} \varphi ^{i}$, was die erste Behauptung bedeutet. Für die zweite Behauptung sei

${}V_{i}=V_{i+1}\,$

für ein ${}i<s$ angenommen. Durch Anwendung von ${}\varphi ^{-1}$ ergibt sich

${}V_{i+1}=\varphi ^{-1}(V_{i})=\varphi ^{-1}(V_{i+1})=V_{i+2}\,.$

In dieser Weise erhält man

${}V_{i}=V_{i+1}=V_{i+2}=\ldots =V_{s}=V\,$

im Widerspruch zur Minimalität von ${}s$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung.

Dann gibt es eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ mit

${}\varphi (v_{j})=v_{j-1}\,$

oder

${}\varphi (v_{j})=0\,.$

Beweis

Es sei

${}\varphi ^{s}=0\,$

und ${}s$ minimal mit dieser Eigenschaft. Wir betrachten die Untervektorräume

${}V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,.$

Es sei ${}U_{s}$ ein direktes Komplement zu ${}V_{s-1}$, also

${}V=V_{s-1}\oplus U_{s}\,.$

Wegen Fakt ist

${}\varphi ^{-1}(V_{s-2})=V_{s-1}\,$

und somit

${}\varphi (U_{s})\cap V_{s-2}=0\,.$

Daher gibt es einen Untervektorraum ${}U_{s-1}$ von ${}V_{s-1}$ mit

${}V_{s-1}=V_{s-2}\oplus U_{s-1}\,$

und mit

${}\varphi (U_{s})\subseteq U_{s-1}\,.$

In dieser Weise erhält man Untervektorräume ${}U_{i}\subseteq V_{i}$ mit

${}V_{i}=V_{i-1}\oplus U_{i}\,$

und mit

${}\varphi (U_{i})\subseteq U_{i-1}\,.$

Ferner ist

${}V=U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{s}\,,$

da ja jeweils die vorhergehende direkte Summenzerlegung zunehmend verfeinert wird. Des weiteren ist ${}\varphi$ eingeschränkt auf ${}U_{i}$ mit ${}i\geq 2$ injektiv. Zu ${}v\in U_{i}\cap \operatorname {kern} \varphi =U_{i}\cap V_{1}\subseteq U_{i}\cap V_{i-1}$ ist ja wegen der Direktheit

${}v=0\,.$

Wir konstruieren nun eine Basis wie gewünscht. Dazu wählen wir zuerst eine Basis ${}{\mathfrak {u}}_{s}$ von ${}U_{s}$. Das (linear unabhängige) Bild ${}\varphi ({\mathfrak {u}}_{s})$ ergänzen wir zu einer Basis ${}{\mathfrak {u}}_{s-1}$ von ${}U_{s-1}$ und so weiter. Die Vereinigung dieser Basen ist dann eine Basis von ${}V$. Die Basiselemente aus ${}{\mathfrak {u}}_{i}$ für ${}i\geq 2$ werden nach Konstruktion auf andere Basiselemente abgebildet und die Basiselemente aus ${}{\mathfrak {u}}_{1}$ auf ${}0$. Um eine Reihenfolge festzulegen, wählen wir ein Basiselement aus ${}{\mathfrak {u}}_{s}$, gefolgt von all seinen Bildern, sodann ein weiteres Basiselement aus ${}{\mathfrak {u}}_{s}$, gefolgt von all seinen Bildern, bis ${}{\mathfrak {u}}_{s}$ aufgebraucht ist. Dann arbeitet man ${}{\mathfrak {u}}_{s-1}$ in der gleichen Weise ab. In einem letzten Schritt vertauscht man die Reihenfolge der soeben konstruierten Basiselemente.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung.

Dann gibt es eine Basis von ${}V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&c_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&c_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&c_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&c_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

besitzt, wobei die ${}c_{i}$ gleich ${}0$ oder gleich ${}1$ sind.

D.h., dass ${}\varphi$ auf jordansche Normalform gebracht werden kann.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Bei einer nilpotenten Abbildung auf einem zweidimensionalen Vektorraum ${}V$ handelt es sich um die Nullabbildung oder um eine nilpotente Abbildung mit einem eindimensionalen Kern. Im letzteren Fall erhält man für jedes Element ${}v\in V\setminus \operatorname {kern} \varphi$ eine Basis ${}\varphi (v),v$ (in dieser Reihenfolge), bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt ${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ besitzt. Bei zunehmender Dimension werden die Möglichkeiten zunehmend zahlreicher und komplexer, wir besprechen abschließend typische Beispiele in der Dimension drei.

Beispiel

Wir wollen Fakt auf

${}M={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

anwenden. Es ist

${}M^{2}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&10\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}M^{3}=0\,.$

Somit ist

$V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1}\rangle ,\,V_{2}=\operatorname {kern} M^{2}=\langle e_{1},e_{2}\rangle {\text{ und }}V_{3}=K^{3}.$

Es ist

${}V_{3}=V_{2}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$

sodass wir

${}U_{3}=\langle e_{3}\rangle \,$

wählen können. Es ist

${}Me_{3}={\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\in V_{2}\,.$

Somit ist

${}V_{2}=V_{1}\oplus U_{2}\,$

mit

${}U_{2}=\langle {\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Schließlich ist

${}M^{2}e_{3}=M{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist

${\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

eine Basis wie gewünscht.

Die inverse Matrix zu

${}B={\begin{pmatrix}10&3&0\\0&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,$

ist

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{10}}&-{\frac {3}{50}}&0\\0&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

und es ist

${}{\begin{aligned}B^{-1}MB&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{10}}&-{\frac {3}{50}}&0\\0&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10&3&0\\0&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{10}}&-{\frac {3}{50}}&0\\0&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&10&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Beispiel

Wir wollen Fakt auf

${}M={\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

anwenden. Es ist

${}M^{2}=0\,.$

Somit ist

$V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1},e_{2}\rangle {\text{ und }}V_{2}=K^{3}.$

Es ist

${}V_{2}=V_{1}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$

sodass wir

${}U_{2}=\langle e_{3}\rangle \,$

wählen können. Es ist

${}Me_{3}={\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}}\in V_{1}\,.$

Somit ist

${}V_{1}=\langle {\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}},e_{1}\rangle =U_{1}\,.$

Daher ist

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

beschrieben.

Beispiel

Wir wollen Fakt auf

${}M={\begin{pmatrix}0&3&7\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

anwenden. Es ist

${}M^{2}=0\,.$

Somit ist

$V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1},7e_{2}-3e_{3}\rangle {\text{ und }}V_{2}=K^{3}.$

Es ist

${}V_{2}=V_{1}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$

sodass wir

${}U_{2}=\langle e_{3}\rangle \,$

wählen können. Es ist

${}Me_{3}={\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}}\in V_{1}\,.$

Somit ist

${}V_{1}=\langle {\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}},7e_{2}-3e_{3}\rangle =U_{1}\,.$

Daher ist

${\begin{pmatrix}0\\7\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

beschrieben.