Die horizontalen Abbildungen sind surjektiv. Da alle Abbildungen
Gruppenhomomorphismen
sind, genügt es, die Aussage für das
Erzeugendensystem zu
von und ein irgendwie gewähltes Urbild
zu zeigen. Es sei ein stetiger Weg von nach . Die Divisorklasse wird unter der Abel-Jacobi-Abbildung auf die Auswertung für
und die Kohomologieklasse wird unter der Residuenabbildung auf die Linearform abgebildet. Es ist also
in zu zeigen. Wir überdecken den Weg mit Kreisscheiben und wählen Übergangspunkte. Wegen der Additivität der Abbildungen können wir annehmen, dass die beiden Punkte in einer offenen Kreisscheibe liegen. Da die Wegintegrale nur von der Homotopieklasse des Weges abhängen, kann man im Kartenbild durch den direkten linearen Weg von nach ersetzen. Es sei
Damit sind wir in der Situation von
Beispiel,
d.h. die auf
definierte holomorphe Funktion
repräsentiert eine Kohomologieklasse , die auf abbildet. Wir möchten diese Kohomologieklasse im Sinne von
Fakt
repräsentieren. Dazu seien
offenen Scheibenumgebungen mit unterschiedlichen Radien
(im Kartenbild).
Wir können durch die entsprechende Funktion auf bzw. ersetzen. Wir wählen eine -differenzierbare Funktion
die auf den Wert und außerhalb von den Wert besitzt
(siehe
Fakt).
Diese können wir durch auf ganz fortsetzen. Die offenen Mengen
und
bilden nach wie vor eine offene Überdeckung von und die Funktion auf und auf bilden eine -Realisierung der Kohomologieklasse, da die Differenz auf dem Durchschnitt
gleich
ist. Sei
auf . Es ist dann gleich auf , da holomorph ist, und damit ist ein globales Element von , das ein Urbild der Kohomologieklasse ist. Nach
Fakt
wird diese Form unter dem durch eine holomorphe Differentialform definierten Homomorphismus auf in abgebildet. Dieses repräsentiert das Bild der Kohomologieklasse
wobei der Abschluss von sei und wobei die letzte Umformung statthaft ist, da ja außerhalb von gleich ist. Es sei der einfach durchlaufene Rand von . Nach Stokes ist dieses Integral gleich
Aus der Exponentialsequenz
(siehe
Beispiel
und
Fakt)
erhält man eine exakte Sequenz
Eine invertierbare Garbe vom Grad rührt von einer ersten Kohomologieklasse aus her. Die Trivialität der invertierbaren Garbe bedeutet, dass die Klasse von herkommt. Bei Abel-Jacobi geht es um das Diagramm
Die angedeuteten Abbildungen sind rechts Serre-Dualität, also der Isomorphismus und unten . Die untere Zeile definiert die jacobische Varietät. Es ist zu zeigen, dass der Isomorphismus rechts einen Isomorphismus links induziert.
Eine Kohomologieklasse wird bei einer gegebenen globalen holomorphen Differentialform auf abgebildet. Wenn man durch meromorphe Funktionen repräsentiert, so wird die Bildklasse durch repräsentiert. Wenn man mit der Hauptteilverteilung arbeitet
(),
so nimmt man . Das Residuum ist dann , siehe
Fakt.
Dies ist nur für Polstellen der Form interessant, wobei selbst keine Pole hat, aber durch welche reinkommen.
Zu vergleichen mit , wohl kein Sinn. Zugehöriger Divisor durch
Die lokalen Hauptdivisoren legen Punktetupel fest.