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Funktionentheorie/Komplex differenzierbar/Einführung/Textabschnitt

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Es sei offen, ein Punkt und

eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in , geschrieben


Es sei offen, ein Punkt und

eine Funktion.

Dann ist in genau dann differenzierbar, wenn es ein und eine Funktion

gibt mit stetig in und und mit

Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die lineare Approximierbarkeit. Die affin-lineare Abbildung

heißt dabei die affin-lineare Approximation. Ihr Graph heißt die Tangente an im Punkt . Die durch gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen. Das Konzept der linearen Approximierbarkeit erlaubt es, die Differenzierbarkeit auf die Stetigkeit (einer anderen Funktion) zurückzuführen und dadurch verschiedene Rechenregeln einfach beweisen zu können.


Es sei offen, ein Punkt und

eine Funktion, die im Punkt differenzierbar sei.

Dann ist stetig in .

Die folgenden Rechenregeln für differenzierbare Funktionen kann man über die lineare Approximierbarkeit oder über Rechenregeln für Funktionslimiten beweisen, wie dies in Analysis I durchgeführt wird.


Es sei offen, ein Punkt und

Funktionen, die in differenzierbar seien.

Dann ist die Summe differenzierbar in mit

Die folgende Ableitungsregel heißt Produktregel.


Es sei offen, ein Punkt und

Funktionen, die in differenzierbar seien.

Dann ist das Produkt differenzierbar in mit


Eine Polynomfunktion

ist in jedem Punkt differenzierbar, und für die Ableitung gilt

Die folgende Ableitungsregel heißt Quotientenregel.


Es sei offen, ein Punkt und

Funktionen, die in differenzierbar seien. Die Funktion habe keine Nullstelle in .

Dann ist differenzierbar in mit

Die folgende Ableitungsregel heißt Kettenregel.


Es seien und offene Mengen in und seien

und

Funktionen mit . Es sei in differenzierbar und sei in

differenzierbar.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

in differenzierbar mit der Ableitung


Es seien und offene Mengen in und sei

eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion

Es sei in

differenzierbar mit .

Dann ist auch die Umkehrfunktion in differenzierbar mit


Es sei offen und

eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt die Ableitung von in existiert. Die Abbildung

heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von .


Es sei offen und

eine Funktion. Man sagt, dass -mal differenzierbar ist, wenn -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung differenzierbar ist. Die Ableitung

nennt man dann die -te Ableitung von .


Es sei offen und

eine Funktion. Man sagt, dass n-mal stetig differenzierbar ist, wenn n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung stetig ist.


Eine auf einer offenen Menge definierte Funktion

heißt holomorph, wenn sie komplex differenzierbar ist.

Diesen Begriff werden wir erst dann verwenden, wenn wir gezeigt haben (siehe Fakt), dass eine komplex differenzierbare Funktion viele weitere Eigenschaften erfüllt.