Funktionentheorie/Komplex differenzierbar/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von ${}f$ in ${}a$, geschrieben

$f'(a).$

Satz

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion.

Dann ist ${}f$ in ${}a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {K} }$ und eine Funktion

$r\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

gibt mit ${}r$ stetig in ${}a$ und ${}r(a)=0$ und mit

${}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,.$

Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die lineare Approximierbarkeit. Die affin-lineare Abbildung

$D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(a)+f'(a)(x-a),$

heißt dabei die affin-lineare Approximation. Ihr Graph heißt die Tangente an ${}f$ im Punkt ${}a$. Die durch ${}f(a)$ gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen. Das Konzept der linearen Approximierbarkeit erlaubt es, die Differenzierbarkeit auf die Stetigkeit (einer anderen Funktion) zurückzuführen und dadurch verschiedene Rechenregeln einfach beweisen zu können.

Korollar

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion, die im Punkt ${}a$ differenzierbar sei.

Dann ist ${}f$ stetig in ${}a$.

Die folgenden Rechenregeln für differenzierbare Funktionen kann man über die lineare Approximierbarkeit oder über Rechenregeln für Funktionslimiten beweisen, wie dies in Analysis I durchgeführt wird.

Lemma

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien.

Dann ist die Summe ${}f+g$ differenzierbar in ${}a$ mit

${}(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)\,.$

Die folgende Ableitungsregel heißt Produktregel.

Lemma

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien.

Dann ist das Produkt ${}f\cdot g$ differenzierbar in ${}a$ mit

${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

Korollar

Eine Polynomfunktion

${}f=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+c_{3}z^{3}+\cdots +c_{n-1}z^{n-1}+c_{n}z^{n}\,$

ist in jedem Punkt differenzierbar, und für die Ableitung gilt

${}f'(z)=c_{1}+2c_{2}z+3c_{3}z^{2}+\cdots +(n-1)c_{n-1}z^{n-2}+nc_{n}z^{n-1}\,.$

Die folgende Ableitungsregel heißt Quotientenregel.

Lemma

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien. Die Funktion ${}g$ habe keine Nullstelle in ${}D$.

Dann ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

${}\left({\frac {f}{g}}\right)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

Die folgende Ableitungsregel heißt Kettenregel.

Satz

Es seien ${}D$ und ${}E$ offene Mengen in ${}{\mathbb {K} }$ und seien

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

und

$g\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen mit ${}f(D)\subseteq E$. Es sei ${}f$ in ${}a$ differenzierbar und ${}g$ sei in

${}b=f(a)\,$

differenzierbar.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

in ${}a$ differenzierbar mit der Ableitung

${}(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)\,.$

Satz

Es seien ${}D$ und ${}E$ offene Mengen in ${}{\mathbb {K} }$ und sei

$f\colon D\longrightarrow E$

eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon E\longrightarrow D$

Es sei ${}f$ in

${}a\in D$ differenzierbar mit ${}f'(a)\neq 0$.

Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in ${}b=f(a)$ differenzierbar mit

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt ${}a\in D$ die Ableitung ${}f'(a)$ von ${}f$ in ${}a$ existiert. Die Abbildung

$f'\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f'(x),$

heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von ${}f$.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal differenzierbar ist, wenn ${}f$ ${}(n-1)$-mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$-te Ableitung ${}f^{(n-1)}$ differenzierbar ist. Die Ableitung

${}f^{(n)}(z):=(f^{(n-1)})'(z)\,$

nennt man dann die ${}n$-te Ableitung von ${}f$.

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ n-mal stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung ${}f^{(n)}$ stetig ist.

Definition

Eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt holomorph, wenn sie komplex differenzierbar ist.

Diesen Begriff werden wir erst dann verwenden, wenn wir gezeigt haben (siehe Fakt), dass eine komplex differenzierbare Funktion viele weitere Eigenschaften erfüllt.