Graduierte kommutative Ringe/Beliebige Gruppe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}D$ eine kommutative Gruppe. Eine ${}R$-Algebra ${}A$ heißt ${}D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$

mit ${}R$-Untermoduln ${}A_{d}$ gibt derart, dass ${}R\subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf ${}A$ die Beziehung

${}A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$

gilt.

Eine einfache Überlegung zeigt, dass ${}1\in A_{0}$ ist und dass somit ${}A_{0}$ eine ${}R$-Unteralgebra von ${}A$ ist. Häufig spricht man einfach von einem ${}D$-graduierten Ring ${}A$. Statt ${}R$ kann man stets ${}\mathbb {Z}$ oder ${}A_{0}$ als Grundring wählen.

Bemerkung  

In einer ${}D$-graduierten ${}R$-Algebra besitzt jedes Element ${}a\in A$ eine eindeutige Darstellung

$a=\sum _{d\in D}a_{d}{\text{ mit }}a_{d}\in A_{d},$

wobei nur endlich viele der ${}a_{d}$ ungleich ${}0$ sein können. Die ${}a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von ${}a$, die ${}A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von ${}A$ (oder ${}d$-ten Stufen) und Elemente ${}a\in A_{d}$ heißen homogen vom Grad ${}d$. Die Gruppe ${}D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall ${}A_{d}=0$ ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra ${}A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente ${}a\in A_{d}$ und ${}b\in A_{e}$ die Produkte ${}ab\in A_{d+e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}R$. Dieser ist in naheliegender Weise ${}\mathbb {Z}$-graduiert. Man definiert für ein Monom ${}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}$ den Grad durch ${}k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}$ und setzt ${}A_{d}$ als den ${}R$-Modul aller Polynome an, die ${}R$-Linearkombinationen von Monomen von Grad ${}d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte ${}R$-Algebra entsteht. Es ist ${}A_{0}=R$ und ${}A_{n}=0$ für negativen Grad ${}n$. Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}R$. Die additive Gruppe des Polynomrings ist einfach

$\bigoplus _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}R\cdot X^{\nu }.$

Daher ist der Polynomring ${}\mathbb {Z} ^{n}$-graduiert, wobei die ${}\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$-te Stufe einfach aus allen ${}R$-Vielfachen des Monoms

${}X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

besteht. Die Stufen zu ${}\nu \in \mathbb {N} ^{n}$ sind also isomorph zu ${}R$, die anderen Stufen, bei denen mindestens eine Komponente negativ ist, sind ${}0$. Diese Graduierung nennt man die feine Graduierung des Polynomringes.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann besitzt die Restklassenalgebra ${}A=K[X]/(X^{n}-a)$ eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe ${}D=\mathbb {Z} /(n)$, und zwar setzt man (wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ sei)

${}A_{d}={\left\{\lambda x^{d}\mid \lambda \in K\right\}}\,.$

Jedes Element ${}f\in A$ kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad ${}n-1$ besitzt. Daher besitzt jedes ${}f$ eine Summendarstellung mit Summanden aus den ${}A_{d}$. Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung ${}X^{n}=a$ nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus ${}\lambda x^{d}\cdot \mu x^{e}=\lambda \mu x^{d+e}$, und dies ist gleich ${}\lambda \mu ax^{d+e-n}$, falls ${}d+e\geq n$ ist, und andernfalls gleich ${}\lambda \mu x^{d+e}$. So oder so ist es ein Element aus ${}A_{d+e}$.