Gruppentheorie/Homomorphiesatz/Beispiele/Textabschnitt

Satz

Es seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}G&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&H&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Beweis

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element ${}u\in Q$ gibt es mindestens ein ${}g\in G$ mit ${}\psi (g)=u$. Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

${}{\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (g)\,$

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${}{\tilde {\varphi }}$ geben kann.
Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also ${}g,g'\in G$ zwei Urbilder von ${}u$. Dann ist

${}\psi {\left(g'g^{-1}\right)}=uu^{-1}=e_{Q}\,$

und somit ist ${}g'g^{-1}\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Daher ist ${}\varphi (g)=\varphi (g')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien ${}u,v\in Q$ und seien ${}g,h\in G$ Urbilder davon. Dann ist ${}gh$ ein Urbild von ${}uv$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(uv)=\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)={\tilde {\varphi }}(u){\tilde {\varphi }}(v)\,.$

D.h. ${}{\tilde {\varphi }}$ ist ein Gruppenhomomorphismus.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die beiden surjektiven Gruppenhomomorphismen

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(4)$

und

$\psi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(12).$

Es ist

${}\operatorname {kern} \psi =\mathbb {Z} \cdot 12\subseteq \mathbb {Z} \cdot 4=\operatorname {kern} \varphi \,.$

Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon \mathbb {Z} /(12)\longrightarrow \mathbb {Z} /(4),$

der mit den Restabbildungen verträglich ist. Dieser bildet den Rest der Zahl bei Division durch ${}12$ auf den Rest bei Division durch ${}4$ ab. Der Satz beinhaltet insbesondere die Aussage, dass dieser letztere Rest allein vom ersten Rest abhängt, nicht von der Zahl selbst.

Wenn man hingegen

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(5)$

und

$\psi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(12)$

betrachtet, so ist

${}\operatorname {kern} \psi =\mathbb {Z} \cdot 12\not \subseteq \mathbb {Z} \cdot 5=\operatorname {kern} \varphi \,$

und es gibt keine natürliche Abbildung

$\mathbb {Z} /(12)\longrightarrow \mathbb {Z} /(5).$

Beispielsweise haben ${}1,13,25,37,49$, die alle modulo ${}12$ den Rest ${}1$ haben, modulo ${}5$ die Reste ${}1,3,0,2,4$.

Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.

Korollar

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$

Beweis

Wir wenden Fakt auf ${}Q=G/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion ${}q\colon G\rightarrow G/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H$

mit ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$, der surjektiv ist. Sei ${}[x]\in G/\operatorname {kern} \varphi$ und ${}[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist

${}{\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=e_{H}\,,$

also ${}x\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist ${}[x]=e_{Q}$, d.h. der Kern von ${}{\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}G$ eine zyklische Gruppe mit einem Erzeuger ${}g$. Wir betrachten den im Sinne von Fakt zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$

Da ein Erzeuger vorliegt, ist diese Abbildung surjektiv. Der Kern dieser Abbildung ist durch die Ordnung von ${}g$ gegeben, die wir ${}k$ nennen (oder ${}0$, wenn die Ordnung ${}\infty$ ist). Aufgrund von Fakt gibt es eine kanonische Isomorphie

${\tilde {\varphi }}\colon \mathbb {Z} /(k)\longrightarrow G.$

Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie für jedes ${}k$ genau eine zyklische Gruppe, nämlich ${}\mathbb {Z} /(k)$.

Beispiel

Der Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$

ist surjektiv und aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist der Kern gleich ${}\mathbb {Z} 2\pi$. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie

${}\mathbb {R} /\mathbb {Z} 2\pi \cong S^{1}\,.$

Beispiel

Die komplexe Exponentialfunktion

$({\mathbb {C} },0,+)\longrightarrow ({\mathbb {C} }^{\times },1,\cdot ),\,z\longmapsto \exp z,$

ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Der Kern ist ${}\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }$. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie

${}{\mathbb {C} }/\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }\cong {\mathbb {C} }^{\times }\,.$

Beispiel

Die Determinante

$\det \colon \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{\times },\,M\longmapsto \det M,$

ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, der Kern ist nach Definition die spezielle lineare Gruppe ${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie

${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}/\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\cong K^{\times }\,.$

Satz

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$G{\stackrel {q}{\longrightarrow }}G/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}H,$

wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Gruppenisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die Bildgruppe ${}U=\operatorname {bild} \varphi \subseteq H$.

$\Box$

Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:

Bild ${}=$ Urbild modulo Kern.