Gruppentheorie/Homomorphiesatz/Beispiele/Textabschnitt

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Satz  

Seien und Gruppen, es sei ein Gruppenhomomorphismus und ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

derart, dass ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

ist kommutativ.

Beweis  

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element gibt es mindestens ein mit . Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein geben kann.
Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Seien also zwei Urbilder von . Dann ist

und somit ist . Daher ist . Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien und seien Urbilder davon. Dann ist ein Urbild von und daher ist

D.h. ist ein Gruppenhomomorphismus.



Beispiel  

Wir betrachten die beiden surjektiven Gruppenhomomorphismen

und

Es ist

Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

der mit den Restabbildungen verträglich ist. Dieser bildet den Rest der Zahl bei Division durch auf den Rest bei Division durch ab. Der Satz beinhaltet insbesondere die Aussage, dass dieser letztere Rest allein vom ersten Rest abhängt, nicht von der Zahl selbst.

Wenn man hingegen

und

betrachtet, so ist

und es gibt keine natürliche Abbildung

Beispielsweise haben , die alle modulo den Rest haben, modulo die Reste .


Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.



Korollar  

Seien und Gruppen und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

Beweis  

Wir wenden Fakt auf und die kanonische Projektion an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

mit , der surjektiv ist. Sei und . Dann ist

also . Damit ist , d.h. der Kern von ist trivial und nach Fakt ist auch injektiv.



Beispiel  

Es sei eine zyklische Gruppe mit einem Erzeuger . Wir betrachten den im Sinne von Fakt zugehörigen Gruppenhomomorphismus

Da ein Erzeuger vorliegt, ist diese Abbildung surjektiv. Der Kern dieser Abbildung ist durch die Ordnung von gegeben, die wir nennen (oder , wenn die Ordnung ist). Aufgrund von Fakt gibt es eine kanonische Isomorphie

Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie für jedes genau eine zyklische Gruppe, nämlich .



Beispiel  

Der Gruppenhomomorphismus

ist surjektiv und aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist der Kern gleich . Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie



Beispiel  

Die komplexe Exponentialfunktion

ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Der Kern ist . Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie



Beispiel  

Die Determinante

ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, der Kern ist nach Definition die spezielle lineare Gruppe . Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie




Satz  

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

wobei die kanonische Projektion, ein Gruppenisomorphismus und die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

Beweis  

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die Bildgruppe .


Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:

Bild Urbild modulo Kern.