Hopf-Algebra/Affines Gruppenschema/K-Punkte/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Hopf-Algebra. Dann nennt man das Spektrum zusammen mit den induzierten -Morphismen

und

das zugehörige affine Gruppenschema.

Die Gruppenschemata sind im Allgemeinen keine Gruppen im eigentlichen Sinne, allein schon weil die Primideale, also die Punkte, unterschiedliche Höhe und unterschiedliche Restklassenkörper besitzen. Solche Primideale können nicht sinnvoll miteinander verknüpft werden. Wir werden gleich sehen, dass Punkte, deren Restklassenkörper zusammenpassen, miteinander verknüpft werden können.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Hopf-Algebra und das zugehörige affine Gruppenschema. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die folgenden Diagramme von -Morphismen kommutieren:



  2. Für jede kommutative -Algebra ist mit den induzierten Operationen eine Gruppe.

Beweis  

(1) folgt unmittelbar aus der Kommutativität der entsprechenden Diagramme für die Hopf-Algebra. (2) folgt aus (1) und aus

wobei die mittlere Gleichung auf Fakt beruht.


Die vorstehende Aussage erklärt auch teilweise die Bezeichnung Gruppenschema. Einem Gruppenschema ist nicht nur eine Gruppe zugeordnet, sondern gleich eine ganze Familie von Gruppen. Das affine Schema legt dabei die algebraische Struktur der Gruppenverknüpfung fest, während die Anzahl der Elemente in der Gruppe vom gewählten Grundring abhängt. Wir erläutern das Konzept der -Punkte an einigen Hopf-Algebren.


Beispiel  

Es sei eine endliche Gruppe und ein Körper. Die gemäß Beispiel zugehörige Hopf-Algebra ist einfach , also das -fache direkte Produkt von mit sich selbst. Ein -Algebrahomomorphismus

muss (wegen für ) eine Projektion auf eine Komponente sein. D.h. muss die Auswertung von an einem Gruppenelement sein. Daher ist

Darüber hinaus ist

Wir identifizieren also Gruppenelemente, Primideale von und ihre zugehörigen -Algebrahomomorphismen (einen Gruppenelement entspricht die Projektion auf die -Komponente und ihr Kern). Ebenso ist

Ein Paar entspricht dabei dem -Algebrahomomorphismus

Die durch die Hopf-Algebrastruktur induzierte Multiplikation auf von und , angewendet auf , ist

Die Summanden sind nur dann gleich (andernfalls sind sie ), wenn und ist. Daher ist die Summe nur im Fall

gleich und sonst gleich . Dies bedeutet wiederum

da ja ebenfalls genau an den Wert und sonst überall den Wert besitzt und die -Algebrahomomorphismen von nach auf der Basis festgelegt sind. Also stimmt die durch die Hopf-Struktur gegebene Multiplikation mit der vorgegebenen Multiplikation überein. Das gleiche gilt für das neutrale Element und die Inversen. Insgesamt gewinnt man also die endliche Gruppe als affines Gruppenschema zur Hopf-Algebra zurück.



Beispiel  

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring versehen mit der in Beispiel eingeführten (additiven) -Hopf-Algebrastruktur. Zu einer kommutativen -Algebra haben wir die natürliche Bijektion

wobei ein Element auf den -Algebrahomomorphismus abgebildet wird, der durch festgelegt ist. Unter dieser Bijektion wird die durch die Hopf-Struktur induzierte Verknüpfung zur Addition auf , siehe Aufgabe. Daher nennt man auch die additive Gruppe über .



Beispiel  

Es sei ein kommutativer Ring und sei mit der in Beispiel eingeführten (multiplikativen) -Hopf-Algebrastruktur versehen. Zu einer kommutativen -Algebra haben wir die natürliche Bijektion

wobei eine Einheit auf den -Algebrahomomorphismus abgebildet wird, der durch festgelegt ist. Da eine Einheit ist, ist dies auf genau eine Weise möglich. Unter dieser Bijektion wird die durch die Hopf-Struktur induzierte Verknüpfung zur Multiplikation auf , siehe Aufgabe. Daher nennt man auch die multiplikative Gruppe über .