Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Christoffelsymbole/Gaußkrümmung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine zweifach stetig differenzierbare orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, eine zweifach stetig differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}N$ das Einheitsnormalenfeld aufgefasst auf ${}V$. Es sei ${}H={\left(h_{ij}\right)}$ die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$. Dann nennt man die punktweise über die linearen Gleichungssysteme

${}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}u}}=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{11}N\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{12}N\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}=\Gamma _{21}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{21}N\,,$

${}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}v}}=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{22}N\,,$

definierten Funktionen

$\Gamma _{ij}^{k}\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

die Christoffelsymbole zu ${}\varphi$.

Man beachte, dass ${}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}(Q),{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}(Q),N(Q)$ in jedem Punkt ${}Q\in V$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ bilden und dass daher überhaupt jeder Vektor mit eindeutigen Koeffizienten als Linearkombination bezüglich dieser Basis geschrieben werden kann. Allerdings variiert die Basis mit ${}Q$ und entsprechend sind die Christoffelsymbole Funktionen. Da ${}N$ normiert ist und senkrecht auf den beiden anderen Basisvektoren steht, ergibt sich der Koeffizient, der sich auf ${}N$ bezieht, als Skalarprodukt ${}\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle =h_{ij}$.

Lemma

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine zweifach stetig differenzierbare orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$ und sei ${}{\left(g^{kl}\right)}$ die inverse Matrix zu ${}g_{ij}$.

Dann gilt für die Christoffelsymbole

$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{1k}{\left(\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{1i}-\partial _{1}g_{ij}\right)}+{\frac {1}{2}}g^{2k}{\left(\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{2i}-\partial _{2}g_{ij}\right)}\,.$

Insbesondere kann man die Christoffelsymbole durch die Daten der ersten Fundamentalmatrix ausdrücken.

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}\partial _{k}g_{ij}&=\partial _{k}\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle \\&=\left\langle \partial _{k}\partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{k}\partial _{j}\varphi \right\rangle \\&=\left\langle \Gamma _{ki}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ki}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{ki}N,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\Gamma _{kj}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{kj}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{kj}N\right\rangle \\&=\left\langle \Gamma _{ki}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{ki}^{2}\partial _{2}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\Gamma _{kj}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{kj}^{2}\partial _{2}\varphi \right\rangle \\&=\Gamma _{ki}^{1}g_{1j}+\Gamma _{ki}^{2}g_{2j}+\Gamma _{kj}^{1}g_{i1}+\Gamma _{kj}^{2}g_{i2}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\\&=\Gamma _{ij}^{1}g_{1k}+\Gamma _{ij}^{2}g_{2k}+\Gamma _{ik}^{1}g_{j1}+\Gamma _{ik}^{2}g_{j2}+\Gamma _{jk}^{1}g_{1i}+\Gamma _{jk}^{2}g_{2i}+\Gamma _{ji}^{1}g_{k1}+\Gamma _{ji}^{2}g_{k2}-{\left(\Gamma _{ki}^{1}g_{1j}+\Gamma _{ki}^{2}g_{2j}+\Gamma _{kj}^{1}g_{i1}+\Gamma _{kj}^{2}g_{i2}\right)}\\&=2{\left(\Gamma _{ij}^{1}g_{1k}+\Gamma _{ij}^{2}g_{2k}\right)}.\,\end{aligned}}$

Es liegt also die Matrixbeziehung

${}{\begin{pmatrix}\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{1i}-\partial _{1}g_{ij}\\\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{2i}-\partial _{2}g_{ij}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{ij}^{1}\\\Gamma _{ij}^{2}\end{pmatrix}}\,$

vor, woraus durch Multiplikation mit ${}{\frac {1}{2}}G^{-1}$ die Behauptung folgt.

$\Box$

Bemerkung  

In der Situation von Fakt gelten die Beziehungen

${}{\begin{pmatrix}\partial _{1}g_{11}\\2\partial _{1}g_{12}-\partial _{2}g_{11}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}2\partial _{1}g_{12}-\partial _{2}g_{11}\\\partial _{2}g_{22}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}\partial _{2}g_{11}\\\partial _{1}g_{22}\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{12}^{1}\\\Gamma _{12}^{2}\end{pmatrix}}\,.$

Satz

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$.

Dann gilt für die Gaußsche Krümmung unter Verwendung der Christoffelsymbole die Beziehung

$K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,.$

Beweis

Wir differenzieren die erste Bestimmungsgleichung für die Christoffelsymbole, also

${}\partial _{1}\partial _{1}\varphi =\Gamma _{11}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}N\,,$

in Richtung der zweiten Variablen und die zweite Bestimmungsgleichung, also

${}\partial _{1}\partial _{2}\varphi =\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{12}N\,,$

in Richtung der ersten Variablen und erhalten nach Schwarz

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{2}h_{11}\right)}N+\Gamma _{11}^{1}\partial _{2}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}\partial _{2}N\\&={\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{1}h_{12}\right)}N+\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{1}\partial _{2}\varphi +h_{12}\partial _{1}N.\,\end{aligned}}$

Die Differenz dieser Ausdrücke ist ${}0$, und wir bestimmen, was sich dabei auf den Basisvektor ${}\partial _{2}\varphi$ bezieht. Dazu müssen wir die Bestimmungsgleichungen für die Christoffelsymbole und Fakt  (3) heranziehen und erhalten

$0=\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}+h_{11}{\frac {g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}-h_{12}{\frac {g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\,.$

Mit

$-g_{11}{\left(h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}\right)}=h_{11}{\left(g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}\right)}-h_{12}{\left(g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}\right)}\,$

können wir die beiden hinteren Summanden ersetzen und erhalten mit Fakt  (4)

${}{\begin{aligned}g_{11}K&=g_{11}{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&={\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$.

Dann gilt für die Gaußsche Krümmung

${}K={\frac {1}{{\left(g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}\right)}^{2}}}{\left(\det {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\partial _{2}^{2}g_{11}+\partial _{1}\partial _{2}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{1}^{2}g_{22}&{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{11}&\partial _{1}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}\\\partial _{2}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}&g_{11}&g_{12}\\{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{22}&g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}&{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}\\{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}&g_{11}&g_{12}\\{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}&g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Die beiden vorstehenden Aussagen sind Varianten des Theorema egregiums, der Inhalt bedeutet unabhängig von den genauen Formeln, dass man die Gaußkrümmung auf einer eingebettenen Fläche allein durch Messungen auf der Fläche, also ohne Bezug auf den umgebenden Raum, beschreiben kann. Die Messungen auf der Fläche sind dabei durch die metrische Fundamentalmatrix kodiert, man muss also das Skalarprodukt auf den Tangentialräumen der Fläche kennen, was eben bedeutet, die Fläche als eine riemannsche Mannigfaltigkeit aufzufassen. Die Hauptkrümmungen lassen sich nicht allein intrinsisch bestimmen, siehe Beispiel und Aufgabe.