Implizite Abbildung/R/Bemerkungen und Beispiele/Tangentialraum/Textabschnitt

Bemerkung

Den Satz über implizite Abbildungen kann man auch so formulieren: Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $G \subseteq V$ offen und es sei $φ : G \to W$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $a \in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential ${(D φ)}_{a}$ surjektiv sei, und es sei $V = E_{1} \oplus E_{2}$ eine direkte Summenzerlegung von $V$ in Untervektorräume $E_{1}$ und $E_{2}$ (mit $a = (a_{1}, a_{2})$ ) derart, dass $E_{1} = kern {(D φ)}_{a}$ und ${(D φ)}_{a} |_{E_{2}}$ surjektiv (und damit bijektiv) ist (dadurch ist $E_{1}$ , aber nicht $E_{2}$ eindeutig festgelegt). Dann gibt es offene Mengen $a_{1} \in U_{1} \subseteq E_{1}$ und $a_{2} \in U_{2} \subseteq E_{2}$ mit $U_{1} \times U_{2} \subseteq G$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

θ : U_{1} ⟶ U_{2}

derart, dass der Graph von $θ$ , also

Γ = {(x, θ (x)) ∣ x \in U_{1}},

mit der Faser über $b = φ (a)$ , geschnitten mit $U_{1} \times U_{2}$ , also

{(x, v) \in U_{1} \times U_{2} ∣ φ (x, v) = b},

übereinstimmt. Sind auf $E_{1}$ und $E_{2}$ jeweils Basen fixiert mit Koordinaten $(x_{1}, \dots, x_{n - m})$ bzw. $(v_{1}, \dots, v_{m})$ ( $n$ und $m$ seien die Dimensionen von $V$ und $W$ ), so wird lokal die Faser durch den Graphen von $m$ Funktionen $θ_{1}, \dots, θ_{m}$ in den $n - m$ Variablen $(x_{1}, \dots, x_{n - m})$ gegeben. Die Faser ist dann nach den Variablen $(v_{1}, \dots, v_{m})$ „aufgelöst“, d.h. diese Koordinaten lassen sich unter der impliziten Bedingung, dass die Punkte zur Faser gehören sollen, explizit durch die anderen, frei wählbaren Koordinaten $(x_{1}, \dots, x_{n - m})$ ausdrücken.

Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, es sei $G \subseteq V$ offen und sei

φ : G ⟶ W

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P \in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential ${(D φ)}_{P}$ surjektiv sei, und sei $Y$ die Faser von $φ$ durch $P$ . Dann nennt man

T_{P} Y := kern {(D φ)}_{P} = {v \in V ∣ {(D φ)}_{P} (v) = 0}

den Tangentialraum an die Faser $Y$ in $P$ .

Häufig wird auch der an $P$ angelegte affine Raum

P + kern {(D φ)}_{P} = {P + v ∣ {(D φ)}_{P} (v) = 0}

als Tangentialraum bezeichnet. In diesem Sinne ist der Tangentialraum kein Untervektorraum von $V$ , da er nicht durch den Nullpunkt verlaufen muss, er ist aber die Verschiebung eines Untervektorraums. Solche Räume nennt man affin-lineare Unterräume. Sie besitzen eine sinnvoll definierte Dimension, nämlich die Dimension des zugehörigen Vektorraumes. Der Tangentialraum an einem regulären Punkt zu einer Abbildung $φ : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ besitzt die Dimension $n - m$ . Der Satz über implizite Abbildungen besagt, dass eine offene Teilmenge des Tangentialraumes an $P$ sich bijektiv und differenzierbar auf eine offene Umgebung von $P$ auf der Faser abbilden lässt. Der Tangentialraum ist also eine lineare Approximation der Faser.

Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Funktion

φ : ℝ \times (ℝ ∖ {0}) ⟶ ℝ, (x, y) ⟼ \frac{x}{y} .

Die Jacobi-Matrix dieser Funktion ist

(\frac{1}{y}, - \frac{x}{y^{2}}),

sodass die Funktion in jedem Punkt regulär ist und der Satz über implizite Abbildungen anwendbar ist. In diesem Fall kann man die Fasern auch direkt bestimmen. Die Bedingung

\frac{x}{y} = c

mit $c \in ℝ$ führt auf $x = c y$ , sodass die Fasern der Abbildung die punktierten Geraden (d.h. ein Punkt ist rausgenommen) durch den Nullpunkt sind (außer der $x$ -Achse, auf der die Abbildung nicht definiert ist). Damit hat man explizit eine Auflösung der Faser nach $x$ gegeben. Dass die Fasern unter dieser Divisionsabbildung (punktierte) Geraden sind, ist ein Ausdruck davon, dass man Brüche erweitern kann, ohne ihren Wert zu ändern.

Der Tangentialraum in $P = (x, y)$ wird nach der Definition durch den Kern der Jacobi-Matrix gegeben, und dieser wird durch den Vektor $(x, y)$ selbst aufgespannt. Der Tangentialraum an $P$ ist hier also die Gerade, die durch $P$ und den Nullpunkt definiert ist, und stimmt (bis auf den Nullpunkt) mit der Faser überein.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

φ : ℝ_{+} \times ℝ ⟶ ℝ, (x, y) ⟼ x^{y}

und knüpfen an Beispiel an. Der einzige kritische Punkt ist $P = (1, 0)$ , ansonsten ist die Abbildung in jedem Punkt regulär und daher lassen sich lokal die Fasern als Graphen beschreiben. Die Faser über $1$ besteht aus der durch $x = 1$ gegebenen Geraden und der durch $y = 0$ gegebenen Halbgeraden, die sich im kritischen Punkt senkrecht schneiden. Ansonsten sind die Fasern durch die Gleichung

x^{y} = c

mit einem $c \in ℝ_{+}$ , $c \neq 1$ , bestimmt (für nichtpositives $c$ sind die Fasern leer). Wir schreiben diese Bedingung als $e^{(\ln x) y} = c$ und daher als

(\ln x) y = \ln c .

Wegen $x \neq 1$ kann man dies zu $y = \frac{\ln c}{\ln x}$ auflösen und wegen $y \neq 0$ zu

x = e^{\frac{\ln c}{y}} .

Die Faser besteht jeweils aus zwei Komponenten, die $x > 1$ bzw. $x < 1$ entsprechen.