Körpererweiterung/Norm und Spur/Zahlentheoretisch orientiert/Textabschnitt

Ein Element  ${}f\in L$  einer Körpererweiterung

${}K\subseteq L\,$

definiert durch Multiplikation eine ${}K$-lineare Abbildung

$\varphi _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy.$

Über diese Konstruktion werden Norm und Spur von ${}f$ erklärt.

Bemerkung  

Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eines endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraumes ${}V$ in sich wird die Determinante ${}\det \left(\varphi \right)$ und die Spur ${}S(\varphi )$ wie folgt berechnet. Man wählt eine ${}K$-Basis  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische ${}n\times n$-Matrix

${\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\cdots &\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda _{n,1}&\cdots &\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}$

mit  ${}\lambda _{ij}\in K$  und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch

${}S(\varphi )=\lambda _{1,1}+\lambda _{2,2}+\cdots +\lambda _{n,n}\,$

gegeben, und dies ist nach Aufgabe ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.

Definition

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  ${}f\in L$  nennt man die Determinante der ${}K$-linearen Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

die Norm von ${}f$. Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Definition

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  ${}f\in L$  nennt man die Spur der ${}K$-linearen Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

die Spur von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Lemma

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm

$N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Es ist  ${}N(fg)=N(f)N(g)$. 
2. Für  ${}f\in K$  ist  ${}N(f)=f^{n}$,  wobei ${}n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
3. Es ist  ${}N(f)=0$  genau dann, wenn  ${}f=0$  ist.

Beweis

1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Fakt.
2. Zu einer beliebigen Basis von ${}L$ wird die Multiplikation mit einen Element  ${}f\in K$  durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ${}f$ ist. Die Determinante ist daher ${}f^{n}$ nach Fakt.
3. Die eine Richtung ist klar, sei also  ${}f\neq 0$.  Dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}L$ und daher ist die Multiplikation mit ${}f$ eine bijektive ${}K$-lineare Abbildung ${}L\rightarrow L$, und deren Determinante ist ${}\neq 0$ nach Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann hat die Spur

$S\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto S(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Die Spur ist ${}K$-linear, also  ${}S(f+g)=S(f)+S(g)$  und  ${}S(\lambda f)=\lambda S(f)$  für  ${}\lambda \in K$. 
2. Für  ${}f\in K$  ist  ${}S(f)=nf$. 

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

$\Box$

Eine Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  heißt einfach, wenn sie von einem Element ${}f$ erzeugt wird. Das bedeutet, dass es außer ${}L$ keinen Körper zwischen ${}K$ und ${}L$ gibt, der ${}f$ enthält. Das Element ${}f$ nennt man dann auch ein primitives Element der Körpererweiterung. Ist  ${}K\subseteq L$  eine endliche und einfache Körpererweiterung, so ist

${}L=K[f]\cong K[X]/(P)\,,$

wobei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ ist.

Satz

Es sei  ${}K\subseteq L=K[f]$  eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$.

Dann hat das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ die Gestalt

${}P=X^{n}-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}N(f)\,.$

Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch ${}f$ definierten ${}K$-linearen Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

haben beide den Grad ${}n$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Diese lineare Abbildung ${}\mu _{f}$ sei bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}L$ durch die Matrix ${}{\left(\lambda _{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich

${}\chi _{\mu _{f}}\chi _{\mu _{f}}=\det {\begin{pmatrix}X-\lambda _{1,1}&\cdots &-\lambda _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\-\lambda _{n,1}&\cdots &X-\lambda _{n,n}\end{pmatrix}}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,.$

Zum Koeffizienten ${}a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen ${}(n-1)$-mal die Variable ${}X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich ${}X^{n}-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i,i}X^{n-1}+\ldots$, sodass also  ${}a_{n-1}=-S(f)$  gilt. Setzt man in der obigen Gleichung  ${}X=0$,  so ergibt sich, dass ${}a_{0}$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus  ${}a_{0}=(-1)^{n}N(f)$  folgt.

$\Box$

Definition

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element  ${}x\in L$  das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

In unserem Zusammenhang, wo wir uns für Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ interessieren, also in Charakteristik ${}0$ sind, ist eine Körpererweiterung stets separabel (siehe Aufgabe), und wir haben den folgenden Satz vom primitiven Element zur Verfügung.

Satz

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung.

Dann wird ${}L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein  ${}f\in L$  mit

${}L=K(f)\cong K[X]/(P)\,$

mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom  ${}P\in K[X]$. 

Beweis

Dies ist ein wichtiges Standardresultat aus der Theorie der Körpererweiterungen.

$\Box$