Körpererweiterung/Norm und Spur/Zahlentheoretisch orientiert/Textabschnitt

Ein Element  $f\in L$  einer Körpererweiterung

$K\subseteq L$

definiert durch Multiplikation eine $K$-lineare Abbildung

${\phi }_f:L⟶L,y⟼fy.$

Über diese Konstruktion werden Norm und Spur von $f$ erklärt.

Bemerkung  

Zu einer linearen Abbildung

$\phi :V⟶V$

eines endlichdimensionalen $K$-Vektorraumes $V$ in sich wird die Determinante $det\left(\phi \right)$ und die Spur $S(\phi )$ wie folgt berechnet. Man wählt eine $K$-Basis  $v_1,\dots ,v_n\in V$  und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische $n\times n$-Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_{1,1}& \cdots & {\lambda }_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\lambda }_{n,1}& \cdots & {\lambda }_{n,n}\end{array}\right)$

mit  ${\lambda }_{ij}\in K$  und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist durch

$S(\phi )={\lambda }_{1,1}+{\lambda }_{2,2}+\cdots +{\lambda }_{n,n}$

gegeben, und dies ist nach Aufgabe ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis.

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  $f\in L$  nennt man die Determinante der $K$-linearen Abbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy,$

die Norm von $f$. Sie wird mit $N(f)$ bezeichnet.

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element  $f\in L$  nennt man die Spur der $K$-linearen Abbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy,$

die Spur von $f$. Sie wird mit $\mathrm{Spur}\left(f\right)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann hat die Norm

$N:L⟶K,f⟼N(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Es ist  $N(fg)=N(f)N(g)$. 
2. Für  $f\in K$  ist  $N(f)=f^n$,  wobei $n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
3. Es ist  $N(f)=0$  genau dann, wenn  $f=0$  ist.

Beweis

1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Fakt.
2. Zu einer beliebigen Basis von $L$ wird die Multiplikation mit einem Element  $f\in K$  durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag $f$ ist. Die Determinante ist daher $f^n$ nach Fakt.
3. Die eine Richtung ist klar, sei also  $f\ne 0$.  Dann ist $f$ eine Einheit in $L$ und daher ist die Multiplikation mit $f$ eine bijektive $K$-lineare Abbildung $L\to L$, und deren Determinante ist $\ne 0$ nach Fakt.

$◻$

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$. Dann hat die Spur

$S:L⟶K,f⟼S(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Die Spur ist $K$-linear, also  $S(f+g)=S(f)+S(g)$  und  $S(\lambda f)=\lambda S(f)$  für  $\lambda \in K$. 
2. Für  $f\in K$  ist  $S(f)=nf$. 

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

$◻$

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt einfach, wenn sie von einem Element $f$ erzeugt wird. Das bedeutet, dass es außer $L$ keinen Körper zwischen $K$ und $L$ gibt, der $f$ enthält. Das Element $f$ nennt man dann auch ein primitives Element der Körpererweiterung. Ist  $K\subseteq L$  eine endliche und einfache Körpererweiterung, so ist

$L=K[f]\cong K[X]/(P),$

wobei $P$ das Minimalpolynom von $f$ ist.

Satz

Es sei  $K\subseteq L=K[f]$  eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad $n$.

Dann hat das Minimalpolynom $P$ von $f$ die Gestalt

$P=X^n-S(f)X^{n-1}+\cdots +(-1{)}^{n}N(f).$

Beweis

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch $f$ definierten $K$-linearen Multiplikationsabbildung

${\mu }_f:L⟶L,y⟼fy,$

haben beide den Grad $n$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton annulliert das charakteristische Polynom die lineare Abbildung und ist somit ein Vielfaches des Minimalpolynoms, sodass sie übereinstimmen. Diese lineare Abbildung ${\mu }_f$ sei bezüglich einer Basis $v_1,\dots ,v_n$ von $L$ durch die Matrix ${\left({\lambda }_{ij}\right)}_{ij}$ gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich

${\chi }_{{\mu }_f}{\chi }_{{\mu }_f}=det\left(\begin{array}{ccc}X-{\lambda }_{1,1}& \cdots & -{\lambda }_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ -{\lambda }_{n,1}& \cdots & X-{\lambda }_{n,n}\end{array}\right)=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0.$

Zum Koeffizienten $a_{n-1}$ leisten (in der Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante) nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen $(n-1)$-mal die Variable $X$ vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich $X^n-\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i,i}{X}^{n-1}+\dots$, sodass also  $a_{n-1}=-S(f)$  gilt. Setzt man in der obigen Gleichung  $X=0$,  so ergibt sich, dass $a_0$ die Determinante der negierten Matrix ist, woraus  $a_0=(-1{)}^{n}N(f)$  folgt.

$◻$

Definition

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element  $x\in L$  das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

In unserem Zusammenhang, wo wir uns für Körpererweiterungen von $\mathbb{Q}$ interessieren, also in Charakteristik $0$ sind, ist eine Körpererweiterung stets separabel (siehe Aufgabe), und wir haben den folgenden Satz vom primitiven Element zur Verfügung.

Satz

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung.

Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein  $f\in L$  mit

$L=K(f)\cong K[X]/(P)$

mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom  $P\in K[X]$. 

Beweis

Dies ist ein wichtiges Standardresultat aus der Theorie der Körpererweiterungen.

$◻$