K-Spektrum/Idempotente Elemente/Zusammenhang/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Ein Element eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn gilt.

Die Elemente und sind idempotent.


Definition  

Seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .

In einem Produktring gibt es viele idempotente Elemente, nämlich solche Elemente, deren Komponenten alle oder sind.


Definition  

Ein kommutativer Ring heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich ) enthält.

Ein zusammenhängender topologischer Raum (rot) und ein nicht zusammenhängender Raum (grün).



Definition  

Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es in genau zwei Teilmengen gibt (nämlich und der Gesamtraum ), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Die leere Menge und der Gesamtraum sind stets zugleich offen und abgeschlossen. Solche Mengen nennt man auch randlos oder clopen. Der leere topologische Raum gilt nicht als zusammenhängend, da es in ihm nur eine zugleich offene und abgeschlossene Menge gibt.



Lemma  

Es sei ein Körper und seien und endlich erzeugte -Algebren mit dem Produktring .

Dann gibt es eine natürliche Homöomorphie

Dabei werden die Einbettungen von rechts nach links durch die Projektionen , , induziert.

Beweis  

Die Projektion ist ein -Algebrahomomorphismus und liefert daher (nach Fakt  (3)) eine stetige Abbildung

(und zwar eine abgeschlossene Einbettung)

Ebenso gibt es eine Abbildung auf . Diese zusammengenommen definieren eine stetige Abbildung

Sei , also sei ein -Algebrahomomorphismus. Seien und die zur Produktzerlegung gehörenden idempotenten Elemente. Wegen und wird genau eines dieser Elemente (sagen wir ) unter auf abgebildet (das andere auf ). Dann wird aber auf geschickt und faktorisiert durch eine Projektion. Das beweist die Surjektivität.

Zur Injektivität seien in der disjunkten Vereinigung gegeben, . Wenn sie beide in einem der Teilstücke liegen, so bleiben sie unter der Abbildung verschieden, da auf den Teilstücken eine abgeschlossene Einbettung vorliegt. Wenn sie auf verschiedenen Teilstücken liegen, so faktorisieren sie durch die beiden verschiedenen Projektionen und für den einen Punkt ist und für den anderen Punkt . Sie sind also verschieden als Elemente in .

Eine Homöomorphie liegt vor, da sich die einzelnen abgeschlossenen Einbettungen zu einer abgeschlossenen Abbildung zusammensetzen.




Satz  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine reduzierte kommutative -Algebra von endlichem Typ.

Dann stiftet die Abbildung

eine Bijektion zwischen den idempotenten Elementen in und denjenigen Teilmengen aus , die sowohl offen also auch abgeschlossen sind.

Beweis  

Zunächst ist offen und abgeschlossen. Dies folgt aus

und aus

D.h. die Abbildung ist wohldefiniert.
Seien zwei idempotente Elemente mit . Da ein idempotentes Element in einem Körper nur die Werte oder annehmen kann, haben sowohl als auch auf den Wert und außerhalb den Wert . Damit haben und überall den gleichen Wert und sind nach dem Identitätssatz für Polynome überhaupt gleich. Dies beweist die Injektivität.
Sei nun sowohl offen als auch abgeschlossen. D.h. es gibt ein weiteres Ideal mit und . Nach Fakt erzeugen und zusammen das Einheitsideal. D.h. es gibt und mit . Wegen ist nach Aufgabe das Element nilpotent und wegen der Reduziertheit ist . Also ist

idempotent. Wegen , und ist .


Es folgt, dass über einem algebraisch abgeschlossenen Körper eine reduzierte -Algebra von endlichem Typ genau dann zusammenhängend ist, wenn das zugehörige zusammenhängend ist.