Kommutative Ringtheorie/Zahlentheorie/Primideal/Maximales Ideal/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .



Lemma

Es sei ein Integritätsbereich und , . Dann ist genau dann ein Primelement, wenn das von erzeugte Hauptideal ein Primideal ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in .

Dann ist genau dann ein Primideal, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.

Beweis  

Sei zunächst ein Primideal. Dann ist insbesondere und somit ist der Restklassenring nicht der Nullring. Sei in wobei durch Elemente in repräsentiert seien. Dann ist und damit oder . was in gerade oder bedeutet.

Ist umgekehrt ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist . Sei . Dann ist in und daher in , also ist .



Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.



Lemma

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in .

Dann ist genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring ein Körper ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.




Korollar  

Es sei ein kommutativer Ring und ein maximales Ideal in .

Dann ist ein Primideal.

Beweis  

Dies folgt sofort aus den Charakterisierungen für Primideale und für maximale Ideale mit den Restklassenringen.


Zu einem Primideal und insbesondere zu einem maximalen Ideal gehört die Evaluationsabbildung

wobei im maximalen Fall rechts ein Körper steht, der Restklassenkörper oder Restekörper (bei einem Primideal betrachtet man den Quotientenkörper als Restekörper). Die Restklassenkörper sind für das Studium des Ringes relevante Körper. Bei sind die Evaluationsabildungen gleich bzw. (zum Nullideal) . Hier treten also alle Primkörper als Restekörper auf.



Lemma  

Es sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

  1. ist ein Primelement.
  2. ist ein Integritätsbereich.
  3. ist ein Körper.

Beweis  

Die Äquivalenz (1) (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für ), siehe Aufgabe, und (3) impliziert natürlich (2). Sei also (1) erfüllt und sei von verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ebenfalls mit . Es ist dann und es ergibt sich eine echte Idealinklusion . Ferner können wir schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt . Da keine Einheit ist und prim (also nach Fakt auch irreduzibel) ist, muss eine Einheit sein. Es ist also , und das bedeutet modulo , also in , dass eine Einheit ist. Also ist ein Körper.


In einem Hauptideal besteht also die Menge der Primideale aus dem Nullideal und den maximalen Idealen.



Lemma  

Es sei ein Körper und , , ein Polynom.

Dann ist genau dann irreduzibel, wenn der Restklassenring ein Körper ist.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.