Kommutative Ringtheorie/Zahlentheorie/Primideal/Maximales Ideal/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Primideal, wenn  ${}{\mathfrak {p}}\neq R$  ist und wenn für  ${}r,s\in R$  mit  ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$  folgt:  ${}r\in {\mathfrak {p}}$  oder  ${}s\in {\mathfrak {p}}$. 

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$.

Dann ist ${}p$ genau dann ein Primelement, wenn das von ${}p$ erzeugte Hauptideal ${}(p)$ ein Primideal ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

Beweis

Es sei zunächst ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere  ${}{\mathfrak {p}}\subset R$  und somit ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ nicht der Nullring. Es sei  ${}fg=0$  in ${}R/{\mathfrak {p}}$ wobei ${}f,g$ durch Elemente in ${}R$ repräsentiert seien. Dann ist  ${}fg\in {\mathfrak {p}}$  und damit  ${}f\in {\mathfrak {p}}$  oder  ${}g\in {\mathfrak {p}}$.  was in ${}R/{\mathfrak {p}}$ gerade  ${}f=0$  oder  ${}g=0$  bedeutet.

Ist umgekehrt ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist  ${}{\mathfrak {p}}\neq R$.  Es sei  ${}f,g\notin {\mathfrak {p}}$.  Dann ist  ${}f,g\neq 0$  in ${}R/{\mathfrak {p}}$ und daher  ${}fg\neq 0$  in ${}R/{\mathfrak {p}}$, also ist  ${}fg\notin {\mathfrak {p}}$. 

$\Box$

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt maximales Ideal, wenn  ${}{\mathfrak {m}}\neq R$  ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ kein weiteres Ideal gibt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {m}}$ ein Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {m}}$ ein Primideal.

Beweis

Dies folgt sofort aus den Charakterisierungen für Fakt und für Fakt mit den Restklassenringen.

$\Box$

Zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ und insbesondere zu einem maximalen Ideal gehört die Evaluationsabbildung

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {p}},$

wobei im maximalen Fall rechts ein Körper steht, der Restklassenkörper oder Restekörper (bei einem Primideal betrachtet man den Quotientenkörper zu Vorlage:Mathkl als Restekörper). Die Restklassenkörper sind für das Studium des Ringes relevante Körper. Bei  ${}R=\mathbb {Z}$  sind die Evaluationsabildungen gleich ${}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(p)$ bzw. (zum Nullideal) ${}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q}$. Hier treten also alle Primkörper als Restekörper auf.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und  ${}p\neq 0$  ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

1. ${}p$ ist ein Primelement.
2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.

Beweis

Die Äquivalenz (1) ${}\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für ${}p=0$), siehe Aufgabe, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei  ${}a\in R/(p)$  von ${}0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ${}R$ ebenfalls mit ${}a$. Es ist dann  ${}a\notin (p)$  und es ergibt sich eine echte Idealinklusion  ${}(p)\subset (a,p)$.  Ferner können wir  ${}(a,p)=(b)$  schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt  ${}p=cb$.  Da ${}c$ keine Einheit ist und ${}p$ prim (also nach Fakt auch irreduzibel) ist, muss ${}b$ eine Einheit sein. Es ist also  ${}(a,p)=(1)$,  und das bedeutet modulo ${}p$, also in ${}R/(p)$, dass ${}a$ eine Einheit ist. Also ist ${}R/(p)$ ein Körper.

$\Box$

In einem Hauptideal besteht also die Menge der Primideale aus dem Nullideal und den maximalen Idealen, und diese werden durch Primelemente erzeugt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, ein Polynom.

Dann ist ${}P$ genau dann irreduzibel, wenn der Restklassenring ${}K[X]/(P)$ ein Körper ist.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.

$\Box$