Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 5

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Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein homogenes Polynom. Zeige: zerfällt in Linearfaktoren.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein homogenes Polynom mit Nullstellenmenge . Zeige, dass für jeden Punkt und jeden Skalar auch ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Monome vom Grad gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass ein homogenes Polynom unter einer linearen Variablentransformation homogen vom gleichen Grad bleibt, und dass dies bei einer affin-linearen Variablentransformation nicht sein muss.


Die folgenden drei Aufgaben dienen dem Verständnis von Satz 5.4 und Korollar 5.5.

Aufgabe (1 Punkt)

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf das Polynom an.


Aufgabe (3 Punkte)

Wende den Beweis zu Satz 5.4 auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion

gehört.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass die zugehörige algebraische Kurve überabzählbar viele Elemente besitzt.


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne das Bild des Polynoms

unter dem durch

definierten Einsetzungshomomorphismus


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Bestimme das Bild und die Fasern dieser Abbildung.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte das Ellipsoid

Finde eine affin-lineare Variablentransformation(über ) derart, dass das Bild von unter der Abbildung die Standardkugel wird.


Ein Ellipsoid: In der algebraischen Geometrie ist damit die Oberfläche gemeint.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und affin-algebraische Mengen in zu . Zeige, dass diese beiden Mengen genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl besitzen.

Zeige ebenso, dass dies bei für und auch für für nicht gilt.