Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesung 19

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Restklassendarstellung für monomiale Kurven

Sei ein numerisches Monoid, das von den teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde. Die zugehörige Surjektion führt zu einer Surjektion

und einer abgeschlossenen Einbettung . Durch welche Gleichungen lässt sich beschreiben?



Satz  

Sei ein durch teilerfremde Elemente erzeugtes Untermonoid und sei die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus .

Dann wird das Kernideal durch

(mit ) beschrieben.

Beweis  

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus

Für die Umkehrung sei ein Polynom mit . Wir schreiben

(mit ). Daher ist

Da dieses Polynom gleich ist müssen alle Koeffizienten sein, d.h. zu jedem gehört auch

zum Kern. Wir können also annehmen, dass in nur Monome mit dem gleichem Wert vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus , sagen wir (mit ). Es muss in mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir , vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf abgebildet wird. Wir schreiben

Im Summand rechts kommt nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form

mit disjunkten und und mit ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.


Die im vorstehenden Satz auftretenden Gleichungen nennmt man binomiale Gleichungen. Die einfachsten binomialen Gleichungen sind von der Bauart ()

Im Fall von ebenen monomialen Kurven ist das auch die einzige Gleichung.



Korollar  

Sei die durch (mit teilerfremd) gegebene monomiale ebene Kurve.

Dann ist

Beweis  

Dies folgt sofort aus Satz 19.1.


Bei monomialen Raumkurven lassen sich die beschreibenden Gleichungen auch noch einigermaßen einfach bestimmen, da man immer eine Variable isolieren kann.


Beispiel  

Twisted cubic curve.png

Sei die „gedrehte Kubik“, also das Bild der monomialen Abbildung, die durch gegeben ist. Diese Kurve ist isomorph zu einer affinen Geraden und insbesondere glatt. Das beschreibende Ideal ist nach Satz 19.1 gleich

Die beiden letzten Idealerzeuger sind dabei überflüssig, da sie sich durch die beiden anderen ausdrücken lassen. Insgesamt ist also

Die Bilder von unter den drei verschiedenen Projektion sind

Dabei sind und isomorph zur affinen Geraden (als Graph einer Abbildung), während die singuläre Neilsche Parabel ist.



Beispiel  

Sei die durch

gegebene monomiale Kurve. Für jede der drei Variablen müssen wir gemäß Satz 19.1 schauen, welche Potenzen davon, wenn man die -Potenz substituiert, sich auch als Monom in den beiden anderen Variablen ausdrücken lassen.

Zunächst haben wir die Gleichungen, in denen jeweils nur zwei Variablen vorkommen. Das sind

Hier kann es, wie im ebenen Fall, immer nur eine Beziehung geben.

In den Relationen, wo alle drei Variablen beteiligt sind, kommt eine der Variablen allein vor. Starten wir mit . Zunächst lassen sich und nicht durch die anderen Variablen ausdrücken, dafür haben wir . Eine andere (davon unabhängige) Kombination ist nicht möglich. Grundsätzlich impliziert eine mehrfache Darstellung , dass man zwischen Potenzen von und von eine Beziehung hat, da man ja die kleineren Potenzen rauskürzen kann. Da wir alle Relationen mit nur zwei Variablen schon aufgelistet haben, liefert eine Potenz von immer nur maximal eine neue Relation. Wir behaupten, dass wir für alleinstehend schon fertig sind. Ist nämlich , so ist . Bei oder haben wir die Gleichungen schon aufgelistet. Sei also . Dann kann man aber mittels der Gleichung die Exponenten in der Gleichung kleiner machen (indem man den Exponenten von um reduziert und die Exponenten von und von um ).

Für hat man sofort die Gleichung , mit der man wieder alle anderen Gleichungen reduzieren kann.

Für hat man und . Es gibt keine kleineren Monome in und , die man als Potenz von ausdrücken kann. Daher kann man jede andere Relation mittels einer von diesen auf eine frühere zurückführen.

Insgesamt haben wir also für die Kurve die Gleichungen




Ganzheit

Definition  

Seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Für ein Element heißt eine Gleichung der Form

wobei die Koeffizienten , zu gehören, eine Ganzheitsgleichung für .


Definition  

Seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Ein Element heißt ganz (über ), wenn eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus erfüllt.


Definition  

Seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente , die ganz über sind, den ganzen Abschluss von in .


Definition  

Seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Dann heißt ganz über , wenn jedes Element ganz über ist.

ist genau dann ganz über , wenn der ganze Abschluss von in gleich ist.



Lemma  

Seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Für ein Element sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ganz über .
  2. Es gibt eine -Unteralgebra von mit und die ein endlicher -Modul ist.
  3. Es gibt einen endlichen -Untermodul von , der einen Nichtnullteiler aus enthält, mit .

Beweis  

(1) (2). Wir betrachten die von den Potenzen von erzeugte -Unteralgebra von , die aus allen polynomialen Ausdrücken in mit Koeffizienten aus besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

ergibt sich

Man kann also durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit kann man jede Potenz von mit einem Exponenten durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad ersetzen. Damit ist

und die Potenzen bilden ein endliches Erzeugendensystem von .

(2) (3). Sei , eine -Unteralgebra, die als -Modul endlich erzeugt sei. Dann ist , und enthält den Nichtnullteiler .

(3) (1). Sei ein endlich erzeugter -Untermodul mit . Seien erzeugende Elemente von . Dann ist insbesondere für jedes eine -Linearkombination der . Dies bedeutet

mit , oder, als Matrix geschrieben,

Dies schreiben wir als

Nennen wir diese Matrix (die Einträge sind aus ), und sei die adjungierte Matrix. Dann gilt ( bezeichne den Vektor ) und nach der Cramerschen Regel ist , also gilt . Es ist also für alle und damit

für alle . Da nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in vom Grad , so dass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.




Korollar  

Seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von in eine -Unteralgebra von .

Beweis  

Die Ganzheitsgleichungen , zeigen, dass jedes Element aus ganz über ist. Seien und ganz über . Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche -Unteralgebren mit und . Sei ein -Erzeugendensystem von und ein -Erzeugendensystem von . Wir können annehmen, dass ist. Betrachte den endlich erzeugten -Modul

der offensichtlich und (und ) enthält. Dieser -Modul ist auch wieder eine -Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt

und für die Produkte gilt und , so dass diese Linearkombination zu gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von , der enthält. Also liegt eine -Unteralgebra vor.



Definition  

Seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Man nennt ganz-abgeschlossen in , wenn der ganze Abschluss von in gleich ist.



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