Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 24

Übungsaufgaben

Aufgabe

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve  $C\subseteq {𝔸}_K^2$  mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[[T]]$ der Potenzreihenring. Zeige, dass die Abbildung

$R[[T]]⟶R[[T]],F⟼a_0,$

die einer Potenzreihe ihren konstanten Term zuordnet, ein $R$-Algebrahomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[[T]]$ der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu $1-T$ an.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass der Potenzreihenring $K[[T_1,\dots ,T_n]]$ ein lokaler Ring ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $R[[X_1,\dots ,X_n]]$ der Potenzreihenring über $R$. Es sei $\frac{\partial }{\partial X_1}$ die (formale) partielle Ableitung bezüglich $X_1$, also die Abbildung

$R[[X_1,\dots ,X_n]]⟶R[[X_1,\dots ,X_n]],f⟼\frac{\partial f}{\partial X_1}.$

Zeige, dass dies eine $R$-Derivation ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper,  $𝔪=(T)\subseteq K[T]$  das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung  $R=K[T{]}_{𝔪}$.  Definiere einen $K$-Algebrahomomorphismus

$\phi :R⟶K[[T]]$

mit  $\phi (T)=T$,  wobei $K[[T]]$ den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper,  $𝔪=(T)\subseteq K[T]$  das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung  $R=K[T{]}_{𝔪}$  und sei

$R⟶K[[T]]$

der $K$-Algebrahomomorphismus aus Aufgabe 24.6. Zeige, dass sich unter dieser Abbildung die Ordnung von Elementen nicht ändert.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[[T]]$ der Potenzreihenring. Zeige, dass die Abbildung

$K[[T]]⟶K,$

die einer Potenzreihe ihren konstanten Koeffizienten zuordnet, ein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich $c_4$) der eingesetzten Potenzreihe $F(G)$ im Sinne von Definition 24.8.

Die folgende Aufgabe zeigt, dass die Bedingung an die eingesetzte Potenzreihe in Lemma 24.9 notwendig ist.

Aufgabe

Zeige, dass man die konstante Potenzreihe  $G=1$  nicht sinnvoll in beliebige Potenzreihen einsetzen kann.

Aufgabe

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid und sei $\delta :M\to \mathbb{N}$ ein Monoidhomomorphismus mit der Eigenschaft, dass zu jedem  $d\in \mathbb{N}$  das Urbild  $M_d=\{m\in M\mid \delta (m)=d\}$  endlich sei. Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass

$R[[M]]=\{\sum _{m\in M}{a}_m{T}^m\mid a_m\in R\}$

mit naheliegenden Verknüpfungen eine kommutative $R$-Algebra ist, die den Monoidring $R[M]$ enthält.

Aufgabe

Es sei $M={\mathbb{N}}^r$ und sei $\delta :{\mathbb{N}}^r\to \mathbb{N}$ die Standardgraduierung auf ${\mathbb{N}}^r$, also die durch $e_i\mapsto 1$ gegebene Abbildung. Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $R[[{\mathbb{N}}^r]]$ wie in Aufgabe 24.11 definiert. Zeige

$R[[{\mathbb{N}}^r]]=R[[T_1,\dots ,T_r]].$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom  $F\in ℝ[X,Y]$  derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über $ℂ$ nicht möglich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Kurve  $C=V(X^2-Y^2-Y^3)$  mit der in Beispiel 24.2 besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte  $t=-1,0,1$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe eine formale Potenzreihe über $ℂ$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe $(K[X])[[Y]]$ und $(K[[Y]])[X]$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring. Man zeige, dass $R[[T_1,\dots ,T_n]]$ noethersch ist.

Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!