Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 24

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei der Potenzreihenring. Zeige, dass die Abbildung

die einer Potenzreihe ihren konstanten Term zuordnet, ein -Algebrahomomorphismus ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu an.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass der Potenzreihenring ein lokaler Ring ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und es sei der Potenzreihenring über . Es sei die (formale) partielle Ableitung bezüglich , also die Abbildung

Zeige, dass dies eine -Derivation ist.


Aufgabe

Sei ein Körper, das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung . Definiere einen -Algebrahomomorphismus

mit , wobei den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.


Aufgabe

Sei ein Körper, das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung und sei

der -Algebrahomomorphismus aus Aufgabe 24.6. Zeige, dass sich unter dieser Abbildung die Ordnung von Elementen nicht ändert.


Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich ) der eingesetzten Potenzreihe im Sinne von Definition 24.8.


Die folgende Aufgabe zeigt, dass die Bedingung an die eingesetzte Potenzreihe in Lemma 24.9 notwendig ist.

Aufgabe

Zeige, dass man die konstante Potenzreihe nicht sinnvoll in beliebige Potenzreihen einsetzen kann.


Aufgabe

Es sei ein kommutatives Monoid und sei ein Monoidhomomorphismus mit der Eigenschaft, dass zu jedem das Urbild endlich sei. Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass

mit naheliegenden Verknüpfungen eine kommutative -Algebra ist, die den Monoidring enthält.


Aufgabe

Es sei und sei die Standardgraduierung auf , also die durch gegebene Abbildung. Es sei ein kommutativer Ring. und sei wie in Aufgabe 24.10 definiert. Zeige




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über nicht möglich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Kurve mit der in Beispiel 24.2 besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte .


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe eine formale Potenzreihe über , die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe und .


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein noetherscher kommutativer Ring. Man zeige, dass noethersch ist.

Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!


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