Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 30/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige durch ein Beispiel, dass Lemma 30.2 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik
mit der Geraden .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kreise
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven, die jeweils als projektiver Abschluss zum Graphen der rationalen Funktion bzw. gegeben sind.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei . Bestimme für die beiden affinen Kurven
ihre Schnittpunkte zusammen mit den Schnittmultiplizitäten. Betrachte auch Schnittpunkte im und bestätige den Satz von Bezout in diesem Beispiel.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen und ) und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass in den in Beispiel 30.6 berechneten Schnittpunkten der beiden Kurven ein transversaler Schnitt vorliegt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei und betrachte die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven
Bestimme den Durchschnitt . Bestimme ferner die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf dem projektiven Abschluss bzw. ). Wenn man durch einen algebraisch abgeschlossenen Körper ersetzt, wie viele Punkte besitzt dann der Durchschnitt und wie viele davon liegen auf der unendlich fernen Geraden?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Wir betrachten die beiden Kurven und mit , ungerade.
a) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt .
b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in .
c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Schnittmultiplizitäten über mit Hilfe des Satzes von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven, die affin durch und den Kreis mit Mittelpunkt und Radius gegeben sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien verschiedene Polynome vom Grad und seien
und
die projektiven Abschlüsse der zugehörigen Graphen wie in Beispiel 30.7. Diskutiere den Fall .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien verschiedene Polynome vom Grad und seien
und
die projektiven Abschlüsse der zugehörigen Graphen wie in Beispiel 30.7. Diskutiere den Fall .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, dass der Produktraum und die projektive Ebene nicht zueinander isomorph sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
-
Zeige, dass durch
ein Morphismus gegeben ist.
- Zeige, dass das Bild von die homogene Gleichung
erfüllt.
- Zeige, dass eine bijektive Abbildung
vorliegt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Bezout für die beiden (affin gegebenen) Kurven
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven und .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven und .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestätige den Satz von Bezout für die beiden monomialen Kurven, die affin durch und gegeben sind.
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