Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 1/kontrolle

Aus Wikiversity



Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine irrationale Zahl ist.


Aufgabe Aufgabe 1.2 ändern

Es sei eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl irrational ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Einheiten von und von , wobei ein Körper sei.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne


Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine natürliche Zahl, die modulo den Rest besitzt. Zeige, dass nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für jede natürliche Zahl , ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für jede natürliche Zahl , auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, d.h. man bestimme die Anzahl der -Tupel


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zu einer natürlichen Zahl bezeichne die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. ist die Anzahl der -Tupel

Es sei eine ungerade positive Zahl. Beweise die Beziehung

Tipp: Zu einem Tupel kann man das Tupel betrachten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ein Unterkörper von ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Untergruppe

dicht ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen . Zeige, dass entweder mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ist, oder aber dicht in ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere ein Entscheidungsverfahren für die Frage, ob eine diophantische Gleichung in einer Variablen eine Lösung besitzt oder nicht.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde mindestens eine ganzzahlige Lösung für die diophantische Gleichung

für .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Gleichung

in bei nur die Lösungen besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Gleichung

in auch Lösungen mit besitzt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Gleichung

in auch Lösungen besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem und .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien natürliche Zahlen. Zeige, dass

die Gleichung

erfüllen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
  2. Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine Fermat-Gleichung. Zeige: wenn es keine nichttriviale Lösung in natürlichen Zahlen gibt, so gibt es auch keine nichttriviale Lösung in ganzen Zahlen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige unter Verwendung des Satzes von Wiles, dass die diophantische Gleichung

für keine von verschiedene Lösung besitzt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass in die Gleichung

nur die triviale Lösung besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige die folgenden Identitäten.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestätige die Gleichung