Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 18/kontrolle
- Aufgaben
In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.
Ein Körper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabel ist.
![{\displaystyle {}P\in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4692e3ffcbd66e900f8975113ff3f32f1cabc21a)
Es sei ein vollkommener Körper und eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass eine separable Körpererweiterung ist.
Zeige, dass jeder Körper der Charakteristik vollkommen ist.
Zeige, dass jeder algebraisch abgeschlossene Körper vollkommen ist.
Zeige, dass ein endlicher Körper vollkommen ist.
Es sei ein Körper der Charakteristik . Zeige, dass genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf surjektiv ist.
Zeige, dass der Körper der rationalen Funktionen nicht vollkommen ist.
![{\displaystyle {}S=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72ab367dacf38442d5f7d90371c6218bcb155af)
![{\displaystyle {}S=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc08abee2910c321e164f2e5187fe063c40fd7d)
Sei .
![{\displaystyle {}F=X^{3}+2X-1\in \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc2fe54927f2db347349ee60f107d7cb39c4c91)
- Zeige, dass und in das Einheitsideal erzeugen. Man gebe explizit eine Darstellung der an.
- Zeige, dass das von und erzeugte Ideal in eine minimale positive ganze Zahl enthält.
- Bestimme, für welche Primzahlen der Faserring reduziert ist.
- Bestimme für diejenigen Primzahlen , für die der Faserring nicht reduziert ist, die Primfaktorzerlegung von in .
- Ist ein Zahlbereich?
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05854fb7f5090d865105d7297fa178c8eb802fbf)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192c251bd578fa7224f44f5d4539c9813b31aa46)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8489b7817f8415920d9e49a6e1d6e9e292321b)
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa91a5bfd911769c2c190f03a767d15f5f376af4)
![{\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db9e67c0b6ed001661f8d0d2c92754429539a29)
Es seien und endliche Erweiterungen von Dedekindbereichen. Es sei ein Primideal von , das in verzweigt. Zeige, dass dann auch in verzweigt.
Es seien ineinander enthaltene Zahlbereiche. Zeige, dass ein Primteiler der Diskriminante von auch ein Teiler der Diskriminante von ist.
Es sei der -te Kreisteilungsring zu einer ungeraden Primzahl . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 17.20, Aufgabe 18.11, Lemma 17.16 und Lemma 9.9, dass die Quadratwurzel aus enthält.
