Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 18

Aufgaben

In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.

Ein Körper ${}K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom ${}P\in K[X]$ separabel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein vollkommener Körper und  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass  ${}K\subseteq L$  eine separable Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Zeige, dass jeder Körper der Charakteristik ${}0$ vollkommen ist.

Aufgabe

Zeige, dass jeder algebraisch abgeschlossene Körper vollkommen ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein endlicher Körper vollkommen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$. Zeige, dass ${}K$ genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf ${}K$ surjektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Körper ${}{\mathbb {F} }_{p}(X)$ der rationalen Funktionen nicht vollkommen ist.

Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Ableitung, dass der Zahlbereich

${}S=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\,$

für  ${}p=2,5$  nicht verzweigt und für  ${}p=3$  verzweigt ist.

Aufgabe *

Zeige mit Hilfe der Ableitung, dass der Zahlbereich

${}S=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\right)}\,$

für  ${}p=2$  nicht verzweigt und für  ${}p=3,5$  verzweigt ist.

Aufgabe *

Es sei  ${}F=X^{3}+2X-1\in \mathbb {Z} [X]$. 

1. Zeige, dass ${}F$ und ${}F'$ in ${}\mathbb {Q} [X]$ das Einheitsideal erzeugen. Man gebe explizit eine Darstellung der ${}1$ an.
2. Zeige, dass das von ${}F$ und ${}F'$ erzeugte Ideal in ${}\mathbb {Z} [X]$ eine minimale positive ganze Zahl  ${}n>0$  enthält.
3. Bestimme, für welche Primzahlen ${}p$ der Faserring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}$ reduziert ist.
4. Bestimme für diejenigen Primzahlen ${}p$, für die der Faserring nicht reduziert ist, die Primfaktorzerlegung von ${}X^{3}+2X-1$ in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$.
5. Ist  ${}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}$  ein Zahlbereich?

Aufgabe

Es seien  ${}R\subseteq S$  und  ${}S\subseteq T$  endliche Erweiterungen von Dedekindbereichen. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$, das in ${}S$ verzweigt. Zeige, dass dann ${}{\mathfrak {p}}$ auch in ${}T$ verzweigt.

Aufgabe

Es seien  ${}S\subseteq T$  ineinander enthaltene Zahlbereiche. Zeige, dass ein Primteiler der Diskriminante von ${}S$ auch ein Teiler der Diskriminante von ${}T$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ der ${}p$-te Kreisteilungsring zu einer ungeraden Primzahl ${}p$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 17.20, Aufgabe 18.11, Lemma 17.16 und Lemma 9.9, dass ${}R$ die Quadratwurzel aus ${}(-1)^{(p-1)/2}p$ enthält.