Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Kähler-Differentiale}
Wir besprechen eine weitere Möglichkeit, Verzweigung zu erfassen, nämlich mit der Hilfe von Kähler-Differentialen. Dies ist ein sehr allgemeines Konzept, das dazu dient, die geometrische Idee eines Tangentialraumes bzw. Tangentialbündels algebraisch zu realisieren. Wir erwähnen hier nur die Grundzüge der Konstruktion und die wesentlichen Eigenschaften ohne Beweis. Beweise finden sich im Anhang.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Der von allen Symbolen
\mathbed {d(a)} {}
{a \in A} {}
{} {} {} {,}
erzeugte
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{,}
modulo den Identifizierungen
\mathdisp {d(ab) =ad(b) + bd(a) \text{ für alle } a,b \in A} { }
und
\mathdisp {d (ra +sb)= rd(a) +sd(b) \text{ für alle } r,s \in R \text{ und } a,b \in A} { , }
heißt \definitionswort {Modul der Kähler-Differentiale}{}
von $A$ über $R$. Er wird mit
\mathdisp {\Omega_{ A {{|}} R }} { }
bezeichnet.
}
Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien $A$-Modul $F$ mit
\mathbed {da} {}
{a\in A} {}
{} {} {} {}
als Basis und bildet den
$A$-\definitionsverweis {Restklassenmodul}{}{}
zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen
\mathdisp {d(ab) - ad(b) - bd(a) \, (a,b \in A)} { }
und
\mathdisp {d (ra +sb) - rd(a) -sd(b)\, (r,s \in R \text{ und } a,b \in A )} { }
erzeugt wird. Die Abbildung
\maabbeledisp {d} {A } {\Omega_{ A {{|}} R }
} {a} {d(a) = da
} {,}
heißt die \stichwort {universelle Derivation} {.} Man prüft sofort nach, dass es sich um eine
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{}
handelt.
Grundlage für konkrete Berechnungen bilden die folgenden Lemmata.
\inputfakt{Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt}{Lemma}{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ R[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in $n$ Variablen über $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
der
\definitionsverweis {freie}{}{}
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
zur
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {dX_1,dX_2 , \ldots , dX_n} { . }
}
\faktzusatz {Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch
\maabbeledisp {} {A} { AdX_1 \oplus \cdots \oplus AdX_n
} {F} {dF = { \frac{ \partial F }{ \partial X_1 } } dX_1 + \cdots + { \frac{ \partial F }{ \partial X_n } } dX_n
} {,}
gegeben.}
\faktzusatz {}
}
\inputfakt{Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt}{Lemma}{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und es seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {A} {B
} {}
ein
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Sequenz
\mathdisp {\Omega_{ A {{|}} R } \otimes_{ A } B \longrightarrow \Omega_{ B {{|}} R } \longrightarrow \Omega_{ B {{|}} A } \longrightarrow 0} { }
von $B$-Moduln
\definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {Dabei geht
\mathl{da \otimes b}{} auf
\mathl{b d \varphi(a)}{} und $db$
\zusatzklammer {in $\Omega_{ B {{|}} R }$} {} {}
auf $db$
\zusatzklammer {in $\Omega_{ B {{|}} A }$} {} {.}}
\faktzusatz {}
}
\inputfakt{Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt}{Lemma}{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und es sei $A$ eine kommutative
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
die als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} {R[X_1 , \ldots , X_n]/(F_1 , \ldots , F_k)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A {{|}} R }
}
{ =} { \bigoplus_{i = 1}^n AdX_i /( dF_1 , \ldots , dF_k )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Polynom/Einsetzung/Kähler-Differentiale/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
und
\maabbeledisp {} {K[Y]} { K[X] \cong K[Y] [X]/(Y-P(X))
} {Y} { P(X)
} {,}
der zugehörige
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für den
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ K[X] {{|}} K[Y] }
}
{ \cong} { K[X]/(P')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Korollar 19.4
ist
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{R
}
{ = }{K[Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{A
}
{ = }{R[X]/(Y-P(X))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ K[X] {{|}} K[Y] }
}
{ =} { \Omega_{ K[Y] [X]/(Y-P(X)) {{|}} K[Y] }
}
{ =} { K[X] /d(Y-P(X))
}
{ =} { K[X]/(P')
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Isomorphie ist so zu verstehen, dass die $1$ in $K[X]/(P')$ dem Differential $dX$ entspricht. Man könnte den Sachverhalt auch als die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ K[X] {{|}} K[Y] }
}
{ =} { K[X]/(P') dX
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausdrücken.
Wenn $K$ algebraisch abgeschlossen ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P'
}
{ = }{ (X-a_1) \cdots (X-a_s)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[X]/(P')
}
{ \cong }{ K^s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die vorstehende Aussage zeigt somit insbesondere, dass der Modul der Kähler-Differentiale nur lokalisiert in den maximalen Idealen
\mathl{(X-a_j)}{,} die den Nullstellen der Ableitung entsprechen, von $0$ verschieden ist. Ein entsprechendes Verhalten gilt generell im Fall einer separablen Erweiterung von Dedekindbereichen.
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Erweiterung}{}{}
von
\definitionsverweis {Dedekindbereichen}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(R)
}
{ \subseteq }{Q(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{}
sei.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \Omega_{ S {{|}} R } \right) }_{ S \setminus \{0\} }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \Omega_{ S {{|}} R } \right) }_{s }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \Omega_{ S {{|}} R } \right) }_{r }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt endlich viele Primideale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( S \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \Omega_{ S {{|}} R } \right) }_{\mathfrak q}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r^m { \left( \Omega_{ S {{|}} R } \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist
\mathl{\Omega_{ S {{|}} R }}{} ein
\mathl{S/r^m S}{-}Modul.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Nach
Lemma Anhang 9.6
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \Omega_{ S {{|}} R } \right) }_{ S \setminus \{0\} }
}
{ =} { \Omega_{ Q(S) {{|}} R }
}
{ =} { \Omega_{ Q(S) {{|}} Q(R) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit folgt die Aussage aus
dem Satz vom primitiven Element
in Verbindung mit
Korollar 19.4.
}{Folgt aus (1) aufgrund der endlichen Erzeugtheit von
\mathl{\Omega_{ S {{|}} R }}{.}
}{Folgt aus (2), man kann für $r$ die Norm von $s$ nehmen, die ja nach
Korollar 10.8
\zusatzklammer {im zahlentheoretischen Kontext} {} {}
ein Vielfaches von $s$ ist.
}{Folgt aus (2) und daraus, dass es in einem Dedekindbereich nur endlich viele Primideale oberhalb eines Elementes $\neq 0$ gibt.
}{Folgt aus (3) und der endlichen Erzeugtheit.
}
In der Aussage
Lemma 19.6 (5)
könnte man auf den Exponenten $m$ verzichten, wenn man $r$ abändert. Aber aus Teil (3) ergibt sich die Aussage mit dem Exponenten. Man denke bei $r$ an eine Primzahl aus $\Z$, man versucht dann, eine annullierende Potenz mit einem möglichst kleinen Exponenten zu finden.
\inputfaktbeweis
{Quadratischer Zahlbereich/Kähler-Modul/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R {{|}} \Z }
}
{ \cong} { R/ { \left( 2 \sqrt{D} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{2,3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R {{|}} \Z }
}
{ \cong} { R/ { \left( \sqrt{D} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Im ersten Fall ist
nach Satz 9.8
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \cong }{ \Z[X]/ { \left( X^2 -D \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
nach Korollar 19.4
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R {{|}} \Z }
}
{ =} { R dX/d { \left( X^2-D \right) }
}
{ =} { R dX / 2XdX
}
{ \cong} { R/2X
}
{ =} { R/2 \sqrt{D}
}
}
{}{}{.}
Im zweiten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ \cong} { \Z[Y]/ { \left( Y^2-Y- { \frac{ D-1 }{ 4 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ { \frac{ 1+\sqrt{D} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R {{|}} \Z }
}
{ =} { R dY/d { \left( Y^2-Y- { \frac{ D-1 }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { R dY /( 2Y-1) dY
}
{ =} { RdY / \sqrt{D} dY
}
{ \cong} { R/ \sqrt{D}
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und $R$ der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z[X]/ { \left( X^{p-1}+X^{p-2} + \cdots + X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 17.14.
Nach
Korollar 19.4
ist der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Omega_{ R {{|}} \Z }
}
{ \cong} { R/ { \left( (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-2} + \cdots + 3X^2 +2X+1 \right) }
}
{ \cong} {\Z[X]/ { \left( X^{p-1}+X^{p-2} + \cdots + X^2+X+1, (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-3} + \cdots + 3X^2 +2X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da $X^p-1$ zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^p-1
}
{ =} { (X-1) { \left( X^{p-1}+X^{p-2} + \cdots + X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ pX^{p-1} dX
}
{ =} { d { \left( X^p-1 \right) }
}
{ =} { d { \left( (X-1) { \left( X^{p-1}+X^{p-2} + \cdots + X^2+X+1 \right) } \right) }
}
{ =} { { \left( X^{p-1}+X^{p-2} + \cdots + X^2+X+1 \right) } dX +(X-1) { \left( (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-3} + \cdots + 3X^2 +2X+1 \right) } dX
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Damit ist insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{pdX
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Omega_{ R_p {{|}} \Z }$, da ja $X$ eine Einheit ist. Somit ist der Kählermodul ein $R_p/pR_p$-Modul und insbesondere ein $\Z/(p)$-Modul. Daher und wegen
Lemma Anhang 9.11
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R_p {{|}} \Z }
}
{ =} { \Omega_{ R_p {{|}} \Z } \otimes_{ \Z } \Z/(p)
}
{ =} { \Omega_{ R_p/pR_p {{|}} \Z/(p) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da der
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
über $p$ die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_p/pR_p
}
{ =} { \Z/(p)[X]/ { \left( (X-1)^{p-1} \right) }
}
{ =} { \Z/(p)[Y]/ { \left( Y^{p-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt, ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( Y^{p-1} \right) }'
}
{ = }{ -Y^{p-2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R_p {{|}} \Z }
}
{ =} { \Omega_{ \Z/(p)[Y]/ { \left( Y^{p-1} \right) } {{|}} \Z/(p) }
}
{ \cong} { \Z/(p)[Y]/ { \left( Y^{p-2} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist ein freier $\Z/(p)$-Modul mit der
\zusatzklammer {in $X$ geschriebenen} {} {}
\definitionsverweis {Basis}{}{}
$dX, XdX , \ldots , X^{p-3} dX$
\zusatzklammer {also vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$p-2$} {} {.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[X]/(X^p-p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
vergleiche
Beispiel 18.11.
Der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ R {{|}} \Z }
}
{ =} { R/ { \left( px^{p-1} \right) } dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das annullierende Ideal ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( px^{p-1} \right) }
}
{ =} { { \left( x^{2p-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von deshalb ist die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale gleich $p^{2p-1}$.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ \pm 1 \mod 9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[x,z]
}
{ \subset }{ \Q[X]/(X^3-q)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ { \frac{ 1+qx+x^2 }{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ganzheitsring, vergleiche
Satz 16.1.
Der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
wird als $R$-Modul von
\mathkor {} {dx} {und} {dz} {}
erzeugt. Wir behaupten, dass der Erzeuger $dz$ überflüssig ist, obwohl er als Algebraerzeuger nicht überflüssig ist. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3 dz
}
{ =} { d3z
}
{ =} { d { \left( 1+qx+x^2 \right) }
}
{ =} { qdx +2xdx
}
{ =} { (q+2x) dx
}
}
{}{}{.}
Ferner ist unter Verwendung von
Aufgabe 16.7
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xdz+zdx
}
{ =} { dxz
}
{ =} { d { \left( { \frac{ 1-q^2 }{ 3 } } x+q z \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1-q^2 }{ 3 } } dx + qd z
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-q) dz
}
{ =} { -zdx -{ \frac{ 1-q^2 }{ 3 } } dx
}
{ =} { - { \left( z+ { \frac{ 1-q^2 }{ 3 } } \right) } dx
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gewinnen. Schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2zdz
}
{ =} { dz^2
}
{ =} { d { \left( { \frac{ q^2-1 }{ 9 } } + { \frac{ -q^3-q }{ 9 } } x + { \frac{ q^2+2 }{ 3 } } z \right) }
}
{ =} { { \frac{ -q^3-q }{ 9 } } dx + { \frac{ q^2+2 }{ 3 } } dz
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 2z - { \frac{ q^2+2 }{ 3 } } \right) } dz
}
{ =} { { \frac{ -q^3-q }{ 9 } } dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gewinnen. Wir können also verschiedene Vielfache von $dz$ als Vielfache von $dx$ ausdrücken. Wir betrachten das von den Vorfaktoren erzeugte Ideal in $R$, also
\mathdisp {{ \left( 3, x-q ,2z - { \frac{ q^2+2 }{ 3 } } \right) }} { . }
Dieses Ideal enthält $q^3-q$ und Im Restklassenring wird also $x$ zu $q$ und $z$ wird zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1+qx+x^2 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 1+2q^2 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Somit enthält das Ideal die Zahlen $3,q^3-q$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 { \frac{ 1+2q^2 }{ 3 } } - { \frac{ q^2+2 }{ 3 } }
}
{ =} { q^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mathkor {} {3} {und} {q} {}
teilerfremd ist, enthält es auch die $1$ und somit gibt es auch eine Darstellung von $dz$ als Vielfaches von $dx$.
}
\zwischenueberschrift{Verzweigung und Differentiale}
\inputfaktbeweis
{Vollkommener Körper/Algebra/Endlichdimensional/Reduziert/Kähler/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{}
und $A$ eine lokale
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $A$ genau dann
\definitionsverweis {reduziert}{}{}
\zusatzklammer {also ein Körper} {} {}
wenn der
\definitionsverweis {Modul der Kählerdifferentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ A {{|}} K }}{} gleich $0$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn $A$ reduziert ist, so liegt eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor, die wegen der Vollkommenheit des Grundkörpers
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist und deshalb nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt ist, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{K[x]
}
{ = }{K[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma Anhang 8.3
erzeugen
\mathkor {} {F} {und} {F'} {}
das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
und somit folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(x) dx
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass sogar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{dx
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Somit folgt die Aussage aus
Korollar 19.4.
Es sei nun angenommen, dass $A$ nicht reduziert ist. Es ist zu zeigen, dass es nichttriviale Kählerdifferentiale gibt. Da $A$ eine lokale Algebra ist, ist ein Element darin entweder eine Einheit oder gehört zum maximalen Ideal. Zu einer Einheit
\mathbed {x \in A} {}
{x \notin K} {}
{} {} {} {,}
ist
\mathl{K[x]}{} ein Erweiterungskörper von $K$. Indem wir so den Grundkörper vergrößern, können wir wegen
Lemma 19.3
annehmen, dass nur die Elemente aus $K\setminus {0}$ Einheiten in $A$ sind. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { K[x_1 , \ldots , x_n ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die $x_i$ gehören zum
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$. Indem wir die Restklassenabbildung
\maabbdisp {} {A} {A/ {\mathfrak m}^2
} {}
betrachten und
Lemma Anhang 9.8
heranziehen, können wir davon ausgehen, dass die Situation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_n ]/(X_iX_j,\, 1 \leq i \leq j \leq n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt, wobei mindestens ein Erzeuger
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Mit dem gleichen Lemma können wir modulo
\mathl{(x_2 , \ldots , x_n)}{} gehen und erhalten die Situation
\mathl{K[X]/(X^2)}{.} Dafür zeigt
Korollar 19.4,
dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{dx
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Verzweigung/Über reduziert/Kählermodul/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Primideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {verzweigt}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \Omega_{ R {{|}} \Z } \right) }_{ {\mathfrak q} }
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{ \Z \cap {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und wir können wegen
Lemma Anhang 9.6
direkt zu
\maabbdisp {} { B = \Z_{\mathfrak p} } { A = R_{ \Z \setminus {\mathfrak p} }
} {}
übergehen. Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \Omega_{ R {{|}} \Z } \right) }_{ {\mathfrak q} }
}
{ =} { { \left( \Omega_{ A {{|}} B } \right) }_{ {\mathfrak q} }
}
{ =} { \Omega_{ A_{ {\mathfrak q} } {{|}} B }
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A {{|}} B } \otimes_{ A } A/{\mathfrak q}
}
{ =} { \Omega_{ A_{\mathfrak q} {{|}} B } \otimes_{ A_{\mathfrak q} } A_{\mathfrak q}/{\mathfrak q}
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja $\Omega_{ A_{\mathfrak q} {{|}} B }$ ein endlicher erzeugter $A_{\mathfrak q}$-Modul über dem lokalen Ring $A_{\mathfrak q}$ ist. Wegen der natürlichen Surjektion
\maabbdisp {} { A_{\mathfrak q}/ {\mathfrak p} A_{\mathfrak q} } { A_{\mathfrak q}/ {\mathfrak q}
} {}
ist dies auch äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A_{\mathfrak q} {{|}} B } \otimes_{ A_{\mathfrak q} } A_{\mathfrak q}/{\mathfrak p} A_{\mathfrak q}
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma Anhang 9.11
angewendet auf
\mathdisp {\begin{matrix} A_{ {\mathfrak q} } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & A_{ {\mathfrak q} }/{\mathfrak p} A_{ {\mathfrak q} } & \\ \uparrow & & \uparrow & \\ B & \stackrel{ }{\longrightarrow} & B/ {\mathfrak p} = \kappa ( {\mathfrak p} ) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A_{ {\mathfrak q} } {{|}} B } \otimes_{ A_{ {\mathfrak q} } } A_{ {\mathfrak q} }/ {\mathfrak p} A_{ {\mathfrak q} }
}
{ =} { \Omega_{ A_{ {\mathfrak q} }/ {\mathfrak p} A_{ {\mathfrak q} } {{|}} B/ {\mathfrak p} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und dies ist die Lokalisierung von
\mathl{\Omega_{ A / {\mathfrak p} {{|}} B/ {\mathfrak p} }}{} an ${\mathfrak q}$. Somit ist die Lokalisierung von $\Omega_{ A {{|}} B }$ an ${\mathfrak q}$ genau dann von $0$ verschieden, wenn
\mathl{\Omega_{ A/ A {\mathfrak p} {{|}} B/ {\mathfrak p} }}{} lokalisiert an ${\mathfrak q}$ von $0$ verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über ${\mathfrak p}$ ab. Nach
\zusatzklammer {dem Beweis zu} {} {}
Satz 18.10
liegt in ${\mathfrak q}$ genau dann Verzweigung vor, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/ {\mathfrak q}
}
{ = }{ A/ {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht reduziert ist. Deshalb folgt die Aussage aus
Lemma 19.11.