Kurs:Analysis/Teil I/21/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	5	4	1	9	4	5	5	7	5	4	6	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Eine lineare (oder totale) Ordnung ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen ${}a_{k}$.
4. Die Supremumsnorm einer Funktion

   $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einer Menge ${}T$.

5. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

   $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem Intervall ${}I=[a,b]$ zur Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b$ und den Werten ${}t_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

6. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung

   $y'=f(t,y).$

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Quotientenregel für konvergente Folgen.
2. Die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.
3. Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.

Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

1. Man gebe zu zwei Punkten ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ die Koordinaten des Mittelpunktes an.
2. Es seien in der Produktmenge ${}\mathbb {Z} ^{2}$ fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}$

ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Menge

${\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid 3\leq \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq 5,\,2\leq \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\leq 3\right\}}.$

Aufgabe * (9 (2+1+2+2+2) Punkte)

Zwei Schwimmer, ${}A$ und ${}B$, schwimmen auf einer ${}50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer ${}A$ schwimmt ${}3m/s$ (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer ${}B$ schwimmt ${}2m/s$.

1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen ${}0$ und ${}100$ Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer ${}A$ (und Schwimmer ${}B$) nach ${}30$ Sekunden?
3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
5. Wie oft überrundet Schwimmer ${}A$ den Schwimmer ${}B$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}a_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie komplexer Zahlen. Zeige, dass die Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie der Realteile ${}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}$, ${}j\in J$, und die Familie der Imaginärteile ${}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}$, ${}j\in J$, summierbar ist. Zeige, das in diesem Fall

${}\sum _{j\in J}a_{j}=(\sum _{j\in J}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)})+{\mathrm {i} }(\sum _{j\in J}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)})\,$

gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

${}g(x)=x^{2}+ax+b\,$

ein normiertes Polynom vom Grad ${}2$ und ${}h(x)=\sin x$ die Sinusfunktion. Zeige, dass die Graphen von ${}g$ und von ${}h$ maximal zwei Schnittpunkte besitzen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt ${}c$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine nach unten beschränkte stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das Supremum über alle Treppenintegrale zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen (also das Unterintegral) existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Die Differentialgleichung

${}y'=yt-2t^{4}+t^{3}+2t^{2}-5t+4\,$

besitzt eine polynomiale Lösung vom Grad ${}3$. Bestimme diese.