Kurs:Analysis/Teil II/18/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	3	4	0	8	6	7	0	2	3	10	4	4	3	60

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Häufungspunkt einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ einem metrischen Raum ${}M$.
2. Eine polynomiale Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

3. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   und einer stetig differenzierbaren Kurve

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

4. Ein lokales Maximum einer Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem metrischen Raum ${}M$ in einem Punkt ${}x\in M$.

5. Ein kritischer Punkt einer differenzierbaren Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$.
6. Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum ${}M$.
2. Die Mittelwertabschätzung für eine differenzierbare Kurve

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

3. Der Satz über implizite Abbildungen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über Bilder kompakter Mengen.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

$B_{0}(t)=(1-t)^{2},\,B_{1}(t)=2t(1-t){\text{ und }}B_{2}(t)=t^{2}.$

Es seien ${}v_{0},v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ drei Vektoren. Wir definieren die Kurve

${}f(t):=B_{0}(t)v_{0}+B_{1}(t)v_{1}+B_{2}(t)v_{2}\,.$

a) Berechne ${}f(0)$ und ${}f(1)$.

b) Berechne ${}f'(t)$.

c) Zeige, dass ${}f'(0)$ ein Vielfaches von ${}v_{1}-v_{0}$ und ${}f'(1)$ ein Vielfaches von ${}v_{2}-v_{1}$ ist.

d) Skizziere für ${}v_{0}=(0,1)$, ${}v_{1}=(1,1)$ und ${}v_{2}=(2,0)$ das Bild der Kurve ${}f(t)$ für ${}0\leq t\leq 1$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei ${}F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.

1. Man gebe ein Beispiel für ein diagonalisierbares ${}F$ (mit ${}n=2$) und eine stetig differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   mit ${}\gamma (a)=\gamma (b)$ derart an, dass das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ nicht ${}0$ ist.

2. Es sei nun ${}F$ diagonalisierbar bezüglich einer Orthonormalbasis. Zeige, dass

   ${}\int _{\gamma }F=0\,$

   für jede stetig differenzierbare Kurve ${}\gamma$ mit ${}\gamma (a)=\gamma (b)$ ist.

Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=\vert {x}\vert y.$

1. Bestimme, welche Richtungsableitungen von ${}f$ im Nullpunkt ${}\left(0,\,0\right)$ existieren.
2. Bestimme für jeden weiteren Punkt ${}P\neq \left(0,\,0\right)$, welche Richtungsableitungen von ${}f$ in ${}P$ existieren.
3. Bestimme, in welchen Punkten ${}P$ die Funktion ${}f$ total differenzierbar ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass das totale Differential zu einer total differenzierbaren Abbildungen

$f\colon V\longrightarrow W$

in einem Punkt ${}P\in V$ eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}\mathbb {R}$- Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ ${}(p,q)$ und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}d$-dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ ${}(p',q')$. Zeige

${}p'\geq d+p-n\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Gibt es ein reelles Polynom ${}f$ in zwei Variablen vom Grad ${}\leq 2$, das die folgenden Eigenschaften besitzt?

1. Es ist ${}f((0,0))=0$.
2. Es ist ${}f((0,1))=0$.
3. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}((0,0))=1\,.$

4. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}((0,0))=-2\,.$

5. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}((0,1))=-1\,.$

6. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}((0,1))=1\,.$

Aufgabe * (10 (2+4+2+2) Punkte)

Es sei ${}f(x,y)=x\sin y$.

1. Bestimme die kritischen Punkte von ${}f$ auf ${}\mathbb {R} ^{2}$.
2. Bestimme die lokalen Extrema von ${}f$.
3. Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf die durch ${}y=x$ gegebene Diagonale unendlich viele lokale Extrema besitzt.
4. Bestimme, ob die Einschränkung von ${}f$ auf die durch ${}y=x$ gegebene Diagonale im Nullpunkt ein lokales Extremum besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

${}G={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x>y>0\right\}}\,.$

Wie betrachten die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).$

Zeige, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung ${}\varphi$ die Bedingung

${}w^{2}2^{u}{\left(u+{\sqrt {u^{4}-4v}}\right)}^{\sqrt {u^{2}-4v}}={\left(u+{\sqrt {u^{2}-4v}}\right)}^{u}2^{\sqrt {u^{2}-4v}}\,$

erfüllen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=y{\text{ mit }}y(0)=1$

explizite Formeln für die Picard-Lindelöf-Iterationen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Grenzabbildung einer gleichmäßig konvergenten Abbildungsfolge.