Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 11/kontrolle
- Übungsaufgaben
Berechne im Polynomring das Produkt
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).
- .
- .
- .
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.
Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper gilt: Wenn beide ungleich sind, so ist auch .
Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.
Es seien die beiden komplexen Polynome
gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom durch teilt?
Es sei ein Körper und seien zwei Polynome mit . Zeige, dass es ein und eine eindeutige Darstellung
mit Polynomen vom Grad gibt.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung
mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.
Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad derart gibt, dass für alle ist.
Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.
Zeige durch Induktion, dass es zu natürlichen Zahlen mit eindeutig bestimmte natürliche Zahlen mit und mit
gibt.
Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit
gibt.
Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Menge
wobei zwei Brüche und genau dann als gleich gelten, wenn ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.
Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.
Berechne die Hintereinanderschaltungen und der beiden rationalen Funktionen
In einer der Aufgaben wird folgender Begriff verwendet.
Eine reelle Zahl heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn es ein Polynom , , mit gibt. Andernfalls heißt sie transzendent.
Beispielsweise sind rationale Zahlen und Wurzeln aus rationalen Zahlen algebraisch, dagegen sind und transzendent
(das sind schwierige Sätze).
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne im Polynomring das Produkt
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise die Formel
für ungerade.
Es sei ein angeordneter Körper und der Polynomring über . Sei
Zeige, dass die drei folgenden Eigenschaften besitzt
- Entweder ist oder oder .
- Aus folgt .
- Aus folgt .
Es sei ein angeordneter Körper, der Polynomring und
der Körper der rationalen Funktionen über . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 11.23, dass man zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge der Polynome in einer Variablen mit rationalen Koeffizienten abzählbar ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge der reellen transzendenten Zahlen überabzählbar ist.
<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I | >> |
---|