Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 29/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=-{\frac {y}{t}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=e^{t}y\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

${}y'=y+7\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=y+{\frac {\sinh t}{\cosh ^{2}t}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}y'=g(t)y\,$

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion ${}g$ und es sei ${}y$ eine differenzierbare Lösung.

a) Zeige, dass ${}y$ ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.

b) Es sei ${}y(t_{0})=0$ für einen Zeitpunkt ${}t_{0}$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 18.21, dass ${}y^{(n)}(t_{0})=0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. gilt.

Die folgende Aussage nennt man das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$g,h_{1},h_{2}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen. Es sei ${}y_{1}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}y'=g(t)y+h_{1}(t)$ und es sei ${}y_{2}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}y'=g(t)y+h_{2}(t)$. Zeige, dass dann ${}y_{1}+y_{2}$ eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'=g(t)y+h_{1}(t)+h_{2}(t)\,$

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige durch Nachrechnen, dass die in Beispiel 29.7 gefundenen Funktionen

$y(t)=c{\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}$

die Differentialgleichung

$y'=y/(t^{2}-1)$

erfüllen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}(t-1)}}\,$

für ${}t>1$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ($t\in \mathbb {R} _{+}$)

$y'={\frac {y}{t}}.$

b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ($t\in \mathbb {R} _{+}$)

$y'={\frac {y}{t}}+t^{7}.$

c) Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {y}{t}}+t^{7}{\text{ und }}y(1)=5.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y+(t^{2}-3)\cos t$

für ${}t\in {]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}$.

b) Löse das Anfangswertproblem

$y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y+(t^{2}-3)\cos t{\text{ mit }}y(0)=7.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}y\,.$

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}y+t^{2}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$. Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die ${}f$ eine Lösung ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}-3}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=(t+2)y+t\exp {\left({\frac {1}{2}}t^{2}+2t\right)}.$

Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ${}y(1)=\pi$?

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {t}{t^{2}+2}}y{\text{ mit }}y(3)=7.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'=y+e^{2t}-4e^{-3t}+1.$

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

$y'={\frac {y}{t}}+{\frac {t^{3}-2t+5}{t^{2}-3}}.$