Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T4/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das uneigentliche Integral zu einer stetigen Funktion
  2. Eine Metrik auf einer Menge .
  3. Eine gleichmäßig stetige Abbildung

    zwischen den metrischen Räumen und .

  4. Die Kurvenlänge einer Kurve
  5. Das Wegintegral zu einem stetigen Vektorfeld

    und einer stetig differenzierbaren Kurve

  6. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ).
  7. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in einem Punkt in Richtung eines Vektors .

  8. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

    in einem Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Banachsche Fixpunktsatz.
  2. Die Formel für die Länge einer Kurve
  3. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld
    gegebenes Anfangswertproblem.
  4. Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.


Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)

Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf durch

eine Metrik definiert wird.

b) Bestimme zu und den Abstand .

c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und metrische Räume und es seien

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

abgeschlossen in ist.


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Banachschen Fixpunktsatz.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beschreibe (ohne weitere Begründung) den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis (der Zeiger soll also im Zeitintervall eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt „oben“ starten).


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit für . Zeige (die anschaulich klare Aussage), dass die Bogenlänge des Graphen von über mit der Bogenlänge des Graphen der Umkehrfunktion über übereinstimmt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Länge der durch

gegebenen Schraubenlinie für zwischen und , wobei .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld

längs des Weges


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

mit .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

mit

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Zeige, dass die Abbildung

() eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere den Graphen der Funktion


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige für Polynomfunktionen

direkt, dass

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen

und


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