Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesung 25

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Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen man Stammfunktionen finden bzw. bestimmte Integrale berechnen kann. Sie beruhen auf Ableitungsregeln.



Partielle Integration



Satz  

Es seien

stetig differenzierbare Funktionen.

Dann gilt

Beweis  

Aufgrund der Produktregel ist eine Stammfunktion von . Daher ist


Bei der partiellen Integration sind insbesondere zwei Dinge zu beachten. Erstens liegt die zu integrierende Funktion im Allgemeinen nicht in der Form vor, sondern einfach als Produkt (wenn kein Produkt vorliegt, so kommt man mit dieser Regel sowieso nicht weiter, wobei allerdings die triviale Produktzerlegung manchmal helfen kann). Dann muss man einen Faktor integrieren und den anderen differenzieren. Wenn eine Stammfunktion von ist, so lautet die Formel

Zweitens führt partielle Integration nur dann zum Ziel, wenn das Integral rechts, also , integriert werden kann.


Beispiel  

Wir bestimmen eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus mittels partieller Integration, wobei wir schreiben und die konstante Funktion integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit ist

Eine Stammfunktion ist also .



Beispiel  

Eine Stammfunktion der Sinusfunktion ist . Um Stammfunktionen zu zu finden, verwenden wir partielle Integration, um eine rekursive Beziehung zu kleineren Potenzen zu erhalten. Um dies präzise zu machen, arbeiten wir mit Intervallgrenzen, und zwar sollen die Stammfunktionen von ausgehen, also für den Wert besitzen. Für ist mittels partieller Integration

Durch Multiplikation mit und Umstellen erhält man

Speziell ergibt sich für


Die folgende Darstellung von heißt Wallissches Produkt.



Korollar  

Es gilt die Darstellung

Beweis  

Wir setzen

Dies ist eine fallende Folge, für die aufgrund von Beispiel 25.3 die rekursive Beziehung

und die Anfangsbedingungen und 1 gelten. Ausgeschrieben bedeutet dies für gerades

und für ungerades

Mit bzw. schreibt sich dies als

bzw. als

Da die Folge fallend ist und gilt, konvergieren die Quotienten gegen . Also ist insbesondere

Hier kann man den Zähler, indem man zwei aufeinander folgende Faktoren ausmultipliziert, als und den Nenner als schreiben. Daher ist




Integration der Umkehrfunktion



Satz  

Es sei eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei eine Stammfunktion von .

Dann ist

eine Stammfunktion der Umkehrfunktion .

Beweis  

Ableiten unter Verwendung von Lemma 18.7 und Satz 18.9 ergibt


Funktionsgraph mit Umkehrfunktion und Flächen zur Berechnung eines Integrals der Umkehrfunktion.


Diese Aussage besitzt einen einfachen geometrischen Hintergrund. Wenn eine streng wachsende stetige Funktion ist (und daher eine Bijektion zwischen und induziert), so besteht zwischen den beteiligten Flächeninhalten der Zusammenhang

bzw.

Für die Stammfunktion von mit dem Startpunkt gilt daher, wenn die Stammfunktion zu bezeichnet, die Beziehung

wobei eine Integrationskonstante ist.


Beispiel  

Wir berechnen eine Stammfunktion von unter Verwendung von Satz 25.5. Eine Stammfunktion des Tangens ist

Also ist

eine Stammfunktion von .




Die Substitutionsregel



Satz  

Sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion. Es sei

stetig differenzierbar.

Dann gilt

Beweis  

Wegen der Stetigkeit von und der vorausgesetzten stetigen Differenzierbarkeit von existieren beide Integrale. Es sei eine Stammfunktion von , die aufgrund von Korollar 24.5 existiert. Nach der Kettenregel hat die zusammengesetzte Funktion die Ableitung . Daher gilt insgesamt



Beispiel  

Typische Beispiele, wo man sofort erkennen kann, dass man die Substitutionsregel anwenden kann, sind beispielsweise

mit der Stammfunktion

oder

mit der Stammfunktion


Häufig liegt ein bestimmtes Integral nicht in einer Form vor, dass man die vorstehende Regel direkt anwenden könnte. Häufiger kommt die folgende umgekehrte Variante zum Zug.



Korollar  

Es sei

eine stetige Funktion und es sei

eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion.

Dann gilt

Beweis  

Nach Satz 25.7 ist


Bemerkung  

Die Substitution wird folgendermaßen angewendet: Es soll das Integral

berechnet werden. Man muss dann eine Idee haben, dass durch die Substitution

das Integral einfacher wird (und zwar unter Berücksichtigung der Ableitung und unter der Bedingung, dass die Umkehrfunktion berechenbar ist). Mit und liegt insgesamt die Situation

vor. In vielen Fällen kommt man mit gewissen Standardsubstitutionen weiter.

Bei einer Substitution werden drei Operationen durchgeführt.

  1. Ersetze durch .
  2. Ersetze durch .
  3. Ersetze die Integrationsgrenzen und durch und .

Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merkregel

der man im Rahmen der Theorie der „Differentialformen“ auch eine inhaltliche Bedeutung geben kann.



Beispiel  

Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge

Zu gegebenem , , gibt es genau ein , das diese Bedingung erfüllt, nämlich . Daher ist der Flächeninhalt der oberen Einheitskreishälfte gleich der Fläche unter dem Graphen der Funktion über dem Intervall , also gleich

Mit der

Substitution

(wobei bijektiv ist), erhält man

Insbesondere ist

eine Stammfunktion zu . Daher ist



Beispiel  

Wir bestimmen eine Stammfunktion von unter Verwendung der Hyperbelfunktionen und , für die die Beziehung gilt. Die Substitution

liefert

Eine Stammfunktion des Sinus hyperbolicus im Quadrat ergibt sich aus

Daher ist

und somit

Aufgrund des Additionstheorems für Sinus hyperbolicus ist und daher kann man diese Stammfunktion auch als

schreiben.



Beispiel  

Wir wollen eine Stammfunktion für die Funktion

bestimmen. Als Vorüberlegung berechnen wir die Ableitung von

Diese ist

Wir schreiben daher als ein Produkt

und wenden darauf partielle Integration an, wobei wir den ersten Faktor integrieren und den zweiten Faktor ableiten. Die Ableitung des zweiten Faktors ist

Daher ist



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