Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 28/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe Referenznummer erstellen
Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe Referenznummer erstellen
Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen und zeitunabhängig ist, d.h. dass konstant ist.
Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung
Die folgende Aufgabe setzt
Aufgabe 19.12
voraus.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
die Menge der differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung
mit .
Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu Beispiel 28.10.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
a) Es sei
ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. für alle . Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung
injektiv ist.
b) Es sei nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.
c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde eine differenzierbare Funktion (nicht die Nullfunktion), die die Bedingung
erfüllt (dabei ist als der Wert der Funktion an der Stelle zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen mit ; es handelt sich also nicht um eine Differentialgleichung).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung
Löse damit das Anfangswertproblem
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung
Löse damit das Anfangswertproblem
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung
einen -dimensionalen reellen Vektorraum bilden.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Löse das Anfangswertproblem
auf mit der Anfangsbedingung .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es zu jedem unendlich oft differenzierbare Funktionen
derart gibt, dass die -te Ableitung mit übereinstimmt, die Ableitungen , , aber nicht.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion
mit und mit für alle , die von verschieden ist.
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