Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 71/latex

\setcounter{section}{71}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { x^3-yx^2+7 \sin y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne die Integrale zum Parameter
\mathl{y \in [0,\pi]}{} über
\mathl{x \in [0,1]}{} und zum Parameter
\mathl{x \in [0,1]}{} über
\mathl{y \in [0,\pi ]}{.} Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

}
{} {}

Mit Aufgabe 70.19 ist jetzt die folgende Aufgabe einfach zu lösen.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {{]0,1]}} {[0, \infty [ } {} eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion \maabbdisp {f^{-1}} {{[0, \infty[} } {{]0,1]} } {.} Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y}{} existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

}
{} {}

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 12.10 und Beispiel 35.5.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} {{ \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} \zusatzklammer {mit der von $\R$ induzierten Metrik} {} {} und es seien \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {} \maabbdisp {g, f_n} {M} {\R } {} \definitionsverweis {messbare Funktionen}{}{} auf einem $\sigma$-\definitionsverweis {endlichen}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{} $M$. Wir betrachten die Funktion \maabbdisp {f} {E \times M } {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f({ \frac{ 1 }{ n } },x) }
{ =} { f_n(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0,x) }
{ =} { g(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diskutiere den Satz von der majorisierten Konvergenz und Satz 71.1 in dieser Situation.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein \definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{} und
\mathbed {A_t} {}
{t \in \R} {}
{} {} {} {,} eine Familie von \definitionsverweis {messbaren Mengen}{}{} mit den zugehörigen Indikatorfunktionen
\mathl{e_{ A_t }}{.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R \times M} { \R } {(t,x)} {f(t,x) = e_{ A_t }(x) } {.}

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R } {t} { \varphi(t) = \int_{ M } f(t,x) \, d \mu(x) } {,} nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 71.1 sind erfüllt, welche nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabb {h} {[a,b]} {\R } {} und \maabb {g} {[c,d]} {\R } {} differenzierbare Funktionen. Bestätige Satz 71.2 für

a)
\mathl{f(x,y) =g(x) + h(y)}{,}

b)
\mathl{f(x,y) =g(x) \cdot h(y)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die dritte Bedingung in Korollar 71.3 äquivalent zur Existenz von nichtnegativen, integrierbaren Funktionen \maabbdisp {h_i} {M} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { { \frac{ \partial f }{ \partial z_i } } (z,x) } \Vert }
{ \leq} { h_i(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} definiert durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{t^4+x^2t^2+1} dt }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Untersuchen Sie $f$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Falls $f$ differenzierbar ist, was ist die Ableitung?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir interpretieren eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n \in \N} c_n z^n}{} als eine Funktion auf
\mathl{U { \left( 0,r \right) } \times \N}{,} wobei der offene Ball
\mathl{E= U { \left( 0,r \right) } \subseteq {\mathbb C}}{} mit der induzierten Metrik und $\N$ mit dem \definitionsverweis {Zählmaß}{}{} versehen sei. Welche Eigenschaften von Satz 71.1 und von \zusatzklammer {einer komplexen Version von} {} {} Satz 71.2 sind \zusatzklammer {in Abhängigkeit von $r$} {} {} erfüllt? Wie kann man daraus Korollar 16.9 und Satz 20.9 erhalten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe die Additivität des Integrals mit Hilfe von Satz 71.5.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere den Wikipediaartikel \anfuehrung{Prinzip von Cavalieri}{,} insbesondere in Hinblick auf die Formulierung:

\anfuehrung{Aus dem Prinzip von Cavalieri lässt sich herleiten, dass das Volumen eines 'höhengedehnten' Körpers (bei gleichbleibender Grundfläche) proportional zu seiner Höhe ist. Als Beispiel: Ein Körper, dessen Höhe auf diese Weise verdoppelt wird, kann durch 2 gleiche Ausgangskörper konstruiert werden, indem zuerst alle äquivalenten Schnittflächen zusammengelegt werden und diese in der entsprechenden Reihenfolge des Ausgangskörpers aufgeschichtet werden (beide Ausgangskörper werden quasi ineinandergeschoben) }{.} \zusatzklammer {Version vom 16. November 2015} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks mit dem Cavalieri-Prinzip.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Die rechteckige Grundseite \zusatzklammer {Unterseite} {} {} eines Bootes \zusatzklammer {unter Wasser} {} {} habe die Breite $2{\rm m}$ und die Länge $10{\rm m}$, die \zusatzklammer {ebenfalls rechteckige} {} {} Deckseite \zusatzklammer {Oberseite} {} {} habe die Breite $3{\rm m}$ und die Länge $12{\rm m}$, wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand $2{\rm m}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung
\mathl{12.000 {\rm kg}}{.} Der Tiefgang des Bootes soll maximal $1,5{\rm m}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $Z$ der Zylinder um die $x$-Achse und $W$ der Zylinder um die $z$-Achse, beide zum Radius $1$. Bestimme das Volumen des Durchschnitts
\mathl{Z \cap W}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A } , \mu)}{} ein $\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{} und \maabbdisp {h_1, h_2} {M} { \R_{\geq 0} } {} \definitionsverweis {messbare Funktionen}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_M h_1h_2 d \mu }
{ =} { \int_{S(h_1)} h_2 d \mu \otimes \lambda^1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $h_2$ in natürlicher Weise als Funktion auf dem \definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
\mathl{S(h_1)}{} zu $h_1$ aufgefasst wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^{n-1} } {} eine \definitionsverweis {surjektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R^{n-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Menge
\mathl{T \cap \varphi^{-1} (x)}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} sei. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lambda^n (T) }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {[a,b]} {und} {[c,d]} {} \definitionsverweis {kompakte Intervalle}{}{} und es sei \maabbeledisp {f} { [a,b] \times [c,d]} {\R } {(x,y)} {f(x,y) } {,} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige mit Hilfe von Satz 71.1, dass auch die Funktion \maabbeledisp {} {[a,b]} {\R } {x} { \int_{ c }^{ d } f(x,y) \, d y } {,} stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
\mathl{\operatorname{Fak} \, (x)}{} beliebig oft \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist mit den Ableitungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x) }
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } ( \ln t)^n t^x e^{-t} \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne das Volumen des \definitionsverweis {Kegels}{}{,} dessen Spitze in
\mathl{(2,3,5)}{} liegt und dessen Grundfläche die durch
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 3x^2+2y^2 \leq 4 \right\} }} { }
gegebene Ellipse ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu }
{ = }{ \varphi_*\lambda^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{} unter der Multiplikation \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy } {.} Zeige, dass für jede \definitionsverweis {Borelmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu (T) }
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } \lambda^1(T) = 0 \, , \\ \infty, \text{ falls } \lambda^1(T) > 0 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom in $n$ Variablen über $\R$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} { { \left\{ x \in \R^n \mid F(x) = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Nullstellenmenge des Polynoms. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^n(T) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}