Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 71

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Parameterabhängige Integrale

Wie diskutieren nun, wie Integrale von einem Parameter abhängen, der sich in einem metrischen Raum bewegt. Dazu muss man in erster Linie das Verhalten bezüglich einer Folge verstehen, so dass man die Ergebnisse der letzten Vorlesung anwenden kann. Der folgende Stetigkeitssatz ist eine weitreichende Verallgemeinerung von Satz 58.2.

Es sei ein Maßraum, ein metrischer Raum und

eine Funktion. Dann gibt es einerseits zu jedem die Funktion

die man auf Stetigkeit untersuchen kann, und andererseits für jeden „Parameter“ die Funktion

und dazu (im Falle der Integrierbarkeit) das Integral . Wir interessieren uns für die Abhängigkeit von diesem Integral vom Parameter . Um deutlich zu machen, dass über (nicht über ) integriert wird, schreiben wir manchmal oder , wobei die Variable zu bezeichnet.



Satz  

Es sei ein -endlicher Maßraum, ein metrischer Raum, und

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.
  1. Für alle ist die Funktion messbar.
  2. Für alle ist die Funktion stetig in .
  3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

    mit

    für alle und alle .

Dann ist die Funktion

wohldefiniert und stetig in .

Beweis  

Die Integrierbarkeit der einzelnen Funktionen folgt aus Lemma 69.5. Wir müssen die Stetigkeit der Funktion in zeigen. Wir wenden das Folgenkriterium für die Stetigkeit an, sei also eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir setzen . Aufgrund der zweiten Voraussetzung konvergiert die Folge für jedes gegen . Daher konvergiert die Funktionenfolge punktweise gegen . Wegen der dritten Bedingung kann man den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden und erhält




Satz  

Es sei ein -endlicher Maßraum, ein nichtleeres offenes Intervall und

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.
  1. Für alle ist die Funktion integrierbar.
  2. Für alle ist die Funktion (stetig) differenzierbar.
  3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

    mit

    für alle und alle .

Dann ist die Funktion

(stetig) differenzierbar in , die Zuordnung ist integrierbar und es gilt die Formel

Beweis  

Der Differenzenquotient für in einem Punkt und ist

Wir müssen für jede Folge in mit , die gegen konvergiert, zeigen, dass die zugehörige Folge der Differenzenquotienten konvergiert. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es (für jedes und jedes ) ein mit

Da integrierbar ist, ist auch für jedes der Differenzenquotient als Funktion in nach Lemma 69.5 integrierbar. Dann ist unter Verwendung der Linearität des Integrals und des Satzes von der majorisierten Konvergenz

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle {{}} \begin{align} \varphi' (t) & = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \varphi(s_n) - \varphi(t) }{ s_n-t } \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \int_{ M } f \, d \mu {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|()|}} - \int_{ M } f \, d \mu {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|()|}} }{ s_n-t } \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ M } {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex={ \frac{ }{ } } |#default = \frac{ }{ } }} \, d \mu (x) \\ & = \int_{ M } \left( \lim_{n \rightarrow \infty} {{<span class="error">Expansion depth limit exceeded</span>|latex={ \frac{ }{ } } |#default = \frac{ }{ } }} \right) \, d \mu (x) \\ & = \int_{ M } f'(t,x) \, d \mu (x) . \end{align} }

Die stetige Differenzierbarkeit folgt aus Satz 71.1.




Korollar  

Es sei ein -endlicher Maßraum, offen und

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.
  1. Für jedes ist die Funktion
    integrierbar.
  2. Für jedes ist die Funktion

    stetig differenzierbar.

  3. Es gibt eine nichtnegative integrierbare Funktion

    mit

    für alle , alle und alle .

Dann ist die Funktion

stetig differenzierbar und es gilt für jedes die Formel

Beweis  

Dies folgt aus Satz 71.2, indem man zu und die lineare Kurve

vorschaltet und betrachtet.



Das Cavalieri-Prinzip


Es seien und zwei -endliche Maßräume und eine messbare Teilmenge. Für jeden Punkt ist

Wir erinnern an Lemma 64.10, nachdem diese Mengen messbar sind. In welcher Beziehung steht zur Funktion

Bei und wenn der Subgraph zu einer nichtnegativen messbaren Funktion ist, so ist und nach der Definition des Integrals gilt

Der Satz von Cavalieri besagt, dass die Gleichheit zwischen links und rechts für beliebige messbare Teilmengen gilt. Um diesen Satz überhaupt formulieren zu können, müssen wir zunächst sicherstellen, dass die Funktion messbar ist.



Lemma  

Es seien und zwei -endliche Maßräume und sei eine messbare Teilmenge.

Dann sind die Funktionen

und

messbar.

Beweis  

Wir zeigen die Messbarkeit der ersten Funktion . Dabei reduzieren wir zuerst auf die Situation in der das Maß auf endlich ist. Nach Voraussetzung gibt es eine abzählbare messbare Ausschöpfung mit . Wir setzen . Dann ist und damit auch für jedes . Wenn wir für jedes die Messbarkeit von gezeigt haben, so folgt sie wegen Lemma 68.4 auch für . Wir können also annehmen, dass ist.

Wir wollen zeigen, dass für jedes die Funktion messbar ist.  Wie setzen

und müssen zeigen, dass dies die gesamte Produkt--Algebra ist. Zunächst gehören die messbaren Quader zu . Es ist ja

und damit ist

messbar. Wir zeigen, dass ein Dynkin-System ist. Es ist . Seien Teilmengen, die zu gehören. Dann ist und ist nach Lemma 68.3 messbar. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung ist . Wenn für alle ist, so ist die Funktion nach Korollar 68.8 wieder messbar.
Damit ist insgesamt ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem aller Quader für die -Algebra enthält. Deshalb ist nach Lemma 61.11.


Wir werden im Folgenden die Notation verwenden, die betont, dass die Funktion von abhängt. Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn es um einen Produktraum geht und Verwechslungen möglich sind.

Cavalieriho princip.svg



Satz  

Es seien und zwei -endliche Maßräume.

Dann gilt für alle messbaren Teilmengen die Beziehung

Beweis  

Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung

ein Maß auf der Produkt--Algebra ist. Sei dazu eine abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte messbare Teilmengen. Nach Aufgabe 70.11 ist

so dass die -Additivität erfüllt ist.
Für einen Quader ist


Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.



<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)