Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 3

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Das Kroneckerprodukt zu Matrizen

und

ist durch

gegeben.


Aufgabe

Berechne das Kroneckerprodukt der beiden Matrizen und .


Aufgabe

Es sei ein Körper und

und

Matrizen mit den zugehörigen linearen Abbildungen bzw. . Zeige, dass das Tensorprodukt dieser linearen Abbildungen bezüglich der Basen , , von und , , von durch das Kroneckerprodukt von und beschrieben wird.


Aufgabe

Zeige, dass das Tensorprodukt des Möbiusbandes mit sich selbst ein triviales Geradenbündel ist.


Aufgabe

Es seien und Prägarben auf dem topologischen Raum . Zeige, dass durch mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf gegeben ist.


Aufgabe

Es sei eine Indexmenge und sei , , eine Familie von Prägarben auf dem topologischen Raum . Zeige, dass durch mit den natürlichen Produktabbildungen eine Prägarbe auf gegeben ist.


Aufgabe

Interpretiere Beispiel 3.8 im Sinne von Beispiel 3.12.


Aufgabe

Es sei ein reelles Vektorbündel vom Rang auf einem topologischen Raum . Zeige, dass zu jeder offenen Menge , auf der trivial ist, die zugehörige Prägarbe der stetigen Schnitte isomorph (in welchem Sinn?) zu ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen , , , , , , die allgemeine lineare Gruppe bzw. topologische Gruppen sind.


Aufgabe

Es sei eine topologische Gruppe und eine Untergruppe. Zeige, dass auf jedem topologischen Raum die Prägarbe eine Unterprägarbe von ist.


Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit , die zugleich eine Gruppe ist, für die die Inversenabbildung und die Gruppenverknüpfung differenzierbare Abbildungen sind, heißt (reelle) Lie-Gruppe.


Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen , , , , , , die allgemeine lineare Gruppe bzw. Lie-Gruppen sind.


Aufgabe

Zeige, dass das Tangentialbündel auf einer Lie-Gruppe trivial ist.

Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.

Aufgabe

Sei eine gerichtete Indexmenge und sei , , ein gerichtetes System von Mengen. Es sei eine weitere Menge und zu jedem sei eine Abbildung

mit der Eigenschaft gegeben, dass ist für alle (wobei die Abbildungen des Systems bezeichnen). Beweise die universelle Eigenschaft des Kolimes, nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

derart gibt, dass ist, wobei die natürlichen Abbildungen sind.

Zeige ferner, dass falls eine gerichtetes System von Gruppen und falls ebenfalls eine Gruppe ist und alle Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Sei eine gerichtete Indexmenge und sei , , ein gerichtetes System von kommutativen Gruppen. Zeige, dass der Kolimes eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein multiplikatives System. Auf betrachten wir folgende (partielle) Ordnung, und zwar sagen wir , falls eine Potenz von teilt. Zeige, dass die kommutativen Ringe

ein gerichtetes System bilden, und dass für den Kolimes

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass der Halm des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in einem Punkt nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit (in diesem Punkt) abhängt.


Aufgabe

Es seien und Prägarben auf dem topologischen Raum und ihre Produktprägarbe. Zeige, dass für den Halm in jeden Punkt die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und seien Prägarben auf . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Identität

    ist ein Homomorphismus von Prägarben.

  2. Wenn und Homomorphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung ein Homomorphismus von Prägarben.
  3. Zu einer Unterprägarbe ist die natürliche Inklusion ein Homomorphismus von Prägraben.


Aufgabe

Es sei eine Indexmenge und sei , , eine Familie von Prägarben auf dem topologischen Raum mit der Produktprägarbe . Es sei eine weitere Prägarbe auf . Zeige, dass ein Prägarbenmorphismus

das gleiche ist wie eine Familie von Prägarbenmorphismen



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