Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 17/latex

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\setcounter{section}{17}






\zwischenueberschrift{Geometrische Vektorbündel}

Zu einem affinen Schema
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { {\mathbb A}_{ U }^{ r } } }
{ \defeq} { \operatorname{Spek} { \left( R[T_1 , \ldots , T_r ] \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zusammen mit der natürlichen Projektion auf $\operatorname{Spek} { \left( R \right) }$, also der Spektrumsabbildung zu \maabb {} {R} {R[T_1 , \ldots , T_r ] } {,} das \stichwort {triviale Bündel} {} vom Rang $r$ über $U$. Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der dem Ringhomomorphimus \maabb {} {R} { \kappa (P) } {} entspricht, ist die \definitionsverweis {Faser}{}{} von
\mathl{{ {\mathbb A}_{ U }^{ r } }}{} über $P$ durch
\mathl{{ {\mathbb A}_{ \kappa (P) }^{ r } }}{,} also dem $r$-dimensionalen affineen Raum über dem Restekörper $\kappa (P)$, gegeben. Zu einem beliebigen Schema $X$ mit einer affinen Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definiert man
\mathl{{ {\mathbb A}_{ X }^{ r } }}{,} indem man die
\mathl{{ {\mathbb A}_{ U_i }^{ r } }}{} im Sinne von Lemma 7.10 so verklebt, wie es die Verklebungen der $U_i$ \zusatzklammer {innerhalb von $X$} {} {} vorgeben. Dieses \stichwort {triviale Bündel} {} vom Rang $r$ kommt zusammen mit der Projektion \maabb {} {{ {\mathbb A}_{ X }^{ r } } } { X } {.} Man spricht auch vom \stichwort {affinen Zylinder} {} vom Rang $r$ über $X$ und schreibt dafür auch $X \times { {\mathbb A}_{ }^{ r } }$. Diese trivialen Bündel sind die lokalen Bausteine für das Konzept eines geometrischen Vektorbündels über einem Schema.




\inputdefinition
{}
{

Sei $X$ ein \definitionsverweis {Schema}{}{.} Ein Schema $V$ zusammen mit einem \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabb {p} {V} {X } {} heißt \definitionswort {geometrisches Vektorbündel}{} vom Rang $r$ über $X$, wenn es eine offene Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $U_i$-\definitionsverweis {Isomorphismen}{}{} \maabbdisp {\psi_i} { U_i \times { {\mathbb A}_{ }^{ r } } = { {\mathbb A}_{ U_i }^{ r } } } {V {{|}}_{U_i} = p^{-1} (U_i ) } {} derart gibt, dass für jede offene affine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ U_i \cap U_j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Übergangsabbildungen \maabbdisp {\psi_j^{-1} \circ \psi_i} { { {\mathbb A}_{ U_i }^{ r } } {{|}}_U } { { {\mathbb A}_{ U_j }^{ r } } {{|}}_U } {} lineare Automorphismen sind, also durch einen Automorphismus des Polynomringes
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O}_X )[T_1 , \ldots , T_r ]}{} der Form
\mathl{T_i \mapsto \sum_{j=1}^r a_{ij} T_j}{} induziert sind.

}

Die Abbildungen $\psi_i$ heißen dabei die \stichwort {Trivialisierungen} {} des Vektorbündels.

Das folgende Beispiel schließt an Beispiel 14.6 an.


\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{,} in dem die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 3 }
{ =} { 6 }
{ =} { (1 +\sqrt{5} { \mathrm i} ) (1 -\sqrt{5} { \mathrm i} ) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt und darüber die $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { R[X,Y] /(3X- (1- { \mathrm i} \sqrt{5}) Y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der zugehörigen \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabb {} { \operatorname{Spek} { \left( A \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } {.} Wir behaupten, dass ein \definitionsverweis {geometrisches Geradenbündel}{}{} vorliegt, wofür wir die offene Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }
{ = }{ D(2) \cup D(3) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heranziehen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_2 }
{ =} { R_2 [ X,Y] /(3X- (1- { \mathrm i} \sqrt{5}) Y) }
{ \cong} { R_2[S] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{X \mapsto 2S}{,}
\mathl{Y \mapsto (1+ { \mathrm i} \sqrt{5})S}{} wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ X/2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{ 2S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{ { \frac{ 3 }{ 1- { \mathrm i} \sqrt{5} } } X }
{ = }{ { \frac{ 1+ { \mathrm i} \sqrt{5} }{ 2 } } X }
{ = }{ { \left( 1+ { \mathrm i} \sqrt{5} \right) } S }
{ }{ }
} {}{}{} ein Isomorphismus. Ebenso ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_3 }
{ =} { R_3 [ X,Y] /(3X- (1- { \mathrm i} \sqrt{5}) Y) }
{ \cong} { R_3[T] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{X \mapsto (1 - { \mathrm i} \sqrt{5}) T}{,}
\mathl{Y \mapsto 3T}{} wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ Y/3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{ 3T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ { \frac{ 1- { \mathrm i} \sqrt{5} }{ 3 } } Y }
{ = }{ {{1- { \mathrm i} \sqrt{5}|}} T }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Isomorphismus. Auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D(6) }
{ = }{ D(2) \cap D(3) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Übergangsabbildung durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ { \frac{ X }{ 2 } } }
{ = }{ { \frac{ 1- { \mathrm i} \sqrt{5} }{ 2 } } T }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben, also linear.


}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { K[X,Y,Z]} {K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW) } {,} die zugehörige \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW) \right) } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } } {} sowie deren Einschränkung \maabbdisp {\varphi} { \operatorname{Spek} { \left( K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW) \right) } \supseteq D(X) \cup D(Y) \cup D(Z) } { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } \setminus \{(0,0,0)\} = D(X) \cup D(Y) \cup D(Z) } {.} Letzteres ist ein \definitionsverweis {geometrisches Vektorbündel}{}{} vom Rang $2$ über dem punktierten affinen Raum. Natürliche Trivialisierungen sind auf den
\mathl{D(X) , D(Y) , D(Z)}{} gegeben, vergleiche Beispiel 1.2. Beispielsweise ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW) \right) }_X }
{ \cong} { K[X,Y,Z]_X[V,W] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { - { \frac{ YV+ZW }{ X } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ausdrücken kann.


}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb P}^{ n }_{K} }
{ =} { \operatorname{Proj} { \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ] \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und das projektive Spektrum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W_k }
{ =} {\operatorname{Proj} { \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n, Y ] \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die Grade von $X_i$ gleich $1$ sind und $Y$ den Grad $k$ bekommt. Gemäß Satz 12.11 induziert die homogene Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ] }
{ \subset} {K[X_0,X_1 , \ldots , X_n, Y ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} einen \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabbdisp {p} {W_k \supset D_+(X_0,X_1 , \ldots , X_n) = V_k } { {\mathbb P}^{ n }_{K} } {.} Auf
\mathl{D_+(X_i)}{} liegt die Abbildung \maabbdisp {} { D_+(X_i) \cong \operatorname{Spek} { \left( K[ { \frac{ X_j }{ X_i } }, j \neq i , { \frac{ Y }{ X_i^k } } ] \right) } } { D_+(X_i) \cong \operatorname{Spek} { \left( K[ { \frac{ X_j }{ X_i } }, j \neq i ] \right) } } {} vor, also ein triviales Geradenbündel. Zu \mathkor {} {D_+(X_i)} {und} {D_+(X_j)} {} werden die Übergangsabbildungen über
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( D_+(X_iX_j), {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } \right) } }
{ =} {K[ { \frac{ X_r }{ X_i } },r \neq i, { \frac{ X_s }{ X_j } }, s \neq j ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} durch
\mathl{{ \frac{ Y }{ X_i^k } } \mapsto { \frac{ Y }{ X_j^k } } \cdot { \frac{ X_j^k }{ X_i^k } }}{} gegeben. Diese sind also linear und es liegt ein Geradenbündel über dem projektiven Raum vor.


}

Ein geometrisches Vektorbündel hat weitere Strukturen, die wir uns zuerst im Fall \maabbdisp {} { { {\mathbb A}_{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }^{ r } } = \operatorname{Spek} { \left( R[T_1 , \ldots , T_r] \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } {} klar machen. Der $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { R[ T_1 , \ldots , T_r ]} { R } {T_i} { 0 } {,} führt zu der Spektrumsabbildung \maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R[ T_1 , \ldots , T_r ] \right) } } {,} die eine \definitionsverweis {abgeschlossene Einbettung}{}{} ist und die man den \stichwort {Nullschnitt} {} nennt. Der $R$-Algebrahomomorphismus \maabbeledisp {} { R[ T_1 , \ldots , T_r ]} {R[S_1 , \ldots , S_r, T_1 , \ldots , T_r ] } {T_i} { S_i+T_i } {,} führt zur \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {\alpha} { { {\mathbb A}_{ R }^{ r+r } } \cong { {\mathbb A}_{ R }^{ r } } \times_{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } { {\mathbb A}_{ R }^{ r } } } { { {\mathbb A}_{ R }^{ r } } } {,} die man die Addition auf dem Vektorbündel nennt. Ferner führt der $R$-Algebrahomomorphismus \maabbeledisp {} { R[ T_1 , \ldots , T_r ]} {R[Z, T_1 , \ldots , T_r ] } {T_i} { Z T_i } {,} zu einer Spektrumsabbildung \maabbdisp {} { { {\mathbb A}_{ R }^{ r+1 } } \cong {\mathbb A}^{1}_{R} \times_{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } { {\mathbb A}_{ R }^{ r } } } { { {\mathbb A}_{ R }^{ r } } } {,} die man die Skalarmultiplikation nennt.





\inputfaktbeweis
{Schema/Geometrisches Vektorbündel/Addition/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Ein \definitionsverweis {geometrisches Vektorbündel}{}{} \maabb {p} {V} {X } {} über einem \definitionsverweis {Schema}{}{} $X$}
\faktfolgerung {besitzt einen Nullschnitt \maabbdisp {} {X} {V } {,} eine Additionsabbildung \maabbdisp {} {V \times_X V} {V } {} und eine Skalarmultiplikation \maabbdisp {} { {\mathbb A}^{1}_{X} \times_X V } {V } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Auf einer affinen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer Trivialisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V {{|}}_U }
{ \cong} { { {\mathbb A}_{ U }^{ r } } }
{ \cong} { \operatorname{Spek} { \left( R[T_1 , \ldots , T_r ] \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es den durch
\mathl{T_i \mapsto 0}{} gegebenen Nullschnitt. Wegen der Linearität der Übergangsabbildungen ist dieser Schnitt auf dem Durchschnitt
\mathl{U_i \cap U_j}{} unabhängig von der gewählten affinen Menge und somit wohldefiniert. Die Existenz der Addition beruht im Wesentlichen darauf, dass bei einem linearen $R$-Algebraisomorphimus \maabbdisp {\theta} {R[T_1 , \ldots , T_r] } {R[U_1 , \ldots , U_r] } {} das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} R[T_1 , \ldots , T_r] & \stackrel{ \alpha^* }{\longrightarrow} & R[T_1 , \ldots , T_r,S_1 , \ldots , S_r ] & \\ \!\!\!\!\! \theta \downarrow & & \downarrow \theta \times \theta \!\!\!\!\! & \\ R[U_1 , \ldots , U_r] & \stackrel{ \alpha^* }{\longrightarrow} & R[U_1 , \ldots , U_r, V_1 , \ldots , V_r ] & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Die Existenz der Skalarmultiplikation ergibt sich in ähnlicher Weise.

}







\zwischenueberschrift{Vektorbündelhomomorphismen}




\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorbündel}{}{} über einem \definitionsverweis {Schema}{}{} $X$. Ein \definitionswort {Homomorphismus von Vektorbündeln}{} \maabb {\varphi} {V} {W } {} ist ein \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} von $V$ nach $W$ über $X$ derart, dass es zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine offene affine Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ U }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, die die vorgegebenen Trivialisierungsumgebungen der Bündel verfeinern \zusatzklammer {also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{U_i, U'_j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für geeignete $i,j$} {} {} und für die die Hintereinanderschaltungen
\mathdisp {{ {\mathbb A}_{ U }^{ r } } \stackrel{ \psi_i {{|}}_U }{\longrightarrow} V {{|}}_U \stackrel{ \varphi {{|}}_U }{\longrightarrow} W {{|}}_U \stackrel{ \theta_j^{-1} {{|}}_U }{\longrightarrow} { {\mathbb A}_{ U }^{ s } }} { }
auf der Ringebene durch einen linearen Einsetzungshomomorphismus gegeben sind.

}

In der folgenden Aussage ist Kern als Urbild des Nullschnittes zu verstehen, also in jeder Faser als Urbild des Nullpunktes. Bei einem Homomorphismus von Vektorbündeln ist über jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Faserabbildung durch eine Matrix über dem zugehörigen Restekörper $\kappa (P)$ gegeben, allerdings gibt es in den affinen Räumen über diesem Körper Punkte mit ganz unterschiedlichenen Restekörpern, so dass man Konzepte der linearen Algebra mit einer gewissen Vorsicht anwenden muss.

\inputfaktbeweis
{Schema/Geometrisches Vektorbündel/Homomorphismus/Surjektiv/Kern/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorbündel}{}{} über einem \definitionsverweis {Schema}{}{} $X$ und \maabb {\varphi} {V} {W } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Homomorphismus von Vektorbündeln }{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der \zusatzklammer {punktweise genommene} {} {} \definitionsverweis {Kern}{}{} ein Vektorbündel über $X$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 17.18. }


Ohne die Bedingung der Surjektivität ist der Kern eines Vektorbündelhomomorphismus kein Vektorbündel. In Beispiel 17.3 ist der punktweise definierte Kern nur auf dem punktierten Spektrum ein Vektorbündel, im Nullpunkt degeneriert der Kern zu einem dreidimensionalen Vektorraum.






\zwischenueberschrift{Vektorbündel und lokal freie Garben}




\inputdefinition
{}
{

Zu einem \definitionsverweis {geometrischen Vektorbündel}{}{} \maabb {p} {V} {X } {} auf einem \definitionsverweis {Schema}{}{} $X$ nennt man die zu einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma(U, { \mathcal F } ) }
{ =} { { \left\{ s : U \rightarrow V {{|}}_U \text{ Schemamorphismus} \mid p \circ s = \operatorname{Id}_{ U } \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Garbe ${ \mathcal F }$ die \definitionswort {Garbe der Schnitte}{} in $V$.

}





\inputfaktbeweis
{Schema/Geometrisches Vektorbündel/Schnitte/Lokal frei/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Zu einem \definitionsverweis {geometrischen Vektorbündel}{}{} \maabb {p} {V} {X } {}}
\faktfolgerung {ist die \definitionsverweis {Garbe der Schnitte}{}{} ${ \mathcal F }$ eine \definitionsverweis {lokal freie Garbe}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Durch die Addition \maabbdisp {} { V \times_X V} { V } {} gibt es aufgrund von Aufgabe 17.19 eine wohldefinierte Addition auf der Garbe der Schnitte, wodurch ${ \mathcal F }$ wegen Aufgabe 17.11 zu einer Garbe von kommutativen Gruppen wird. Durch die Skalarmultipliaktion \maabbdisp {} { {\mathbb A}^{1}_{X} \times_X V} { V } {} erhält man eine ${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modulstruktur}{}{} auf ${ \mathcal F }$. Zu einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V {{|}}_U }
{ \cong }{ { {\mathbb A}_{ }^{ r } }_U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal F } {{|}}_U }
{ \cong} { { \left( {\mathcal O}_{ X } {{|}}_U \right) }^r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und ${ \mathcal F }$ ist lokal frei.

}


Geometrische Vektorbündel und lokal freie Garben sind im Wesentlichen äquivalente Objekte.





\inputfaktbeweis
{Schema/Lokal freie Garben und Vektorbündel/Äquivalenz/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Auf einem \definitionsverweis {Schema}{}{}}
\faktfolgerung {entsprechen sich \definitionsverweis {geometrische Vektorbündel}{}{} und \definitionsverweis {lokal freie Garben}{}{.} Ferner entsprechen sich \definitionsverweis {Vektorbündelhomomorphismen}{}{} und ${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{.}}
\faktzusatz {Einem \definitionsverweis {geometrischen Vektorbündel}{}{} $V$ über $X$ wird dabei die nach Lemma 17.9 lokal freie \definitionsverweis {Garbe der Schnitte}{}{} ${ \mathcal S }_V$ zugeordnet und einem Vektorbündelhomomorphismus \maabb {\varphi} {V} {W } {} wird der Modulhomomorphismus \maabb {} { { \mathcal S }_V } {{ \mathcal S }_W } {} zugeordnet, der einen Schnitt \maabb {s} {U} { V {{|}}_U } {} auf den Schnitt \maabb {\varphi \circ s} {U} { W {{|}}_U } {} abbildet.}
\faktzusatz {}

}
{

Wir zeigen zuerst, dass jede lokal freie Garbe isomorph zu einer Garbe der Schnitte in einem Vektorbündel ist. Eine lokal freie Garbe ${ \mathcal F }$ vom Rang $r$ ist durch eine offene Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {wobei wir die $U_i$ als affin annehmen können} {} {} und \definitionsverweis {Isomorphismen}{}{} \maabbdisp {\varphi_i} { {\mathcal O}_{ U_i }^r } { { \mathcal F } {{|}}_{U_i} } {} gegeben. Die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {{\mathcal O}_{ U_i }^r {{|}}_{U_i \cap U_j} = {\mathcal O}_{ U_i\cap U_j }^r \stackrel{ \varphi_i {{|}}_{U_i \cap U_j} }{\longrightarrow} { \mathcal F } {{|}}_{U_i \cap U_j} \stackrel{ \varphi_j^{-1} {{|}}_{U_i \cap U_j} } {\longrightarrow} {\mathcal O}_{ U_i \cap U_j }^r = {\mathcal O}_{ U_j }^r {{|}}_{U_i \cap U_j}} { }
ist nach Satz 13.10 durch
\mathl{e_k \mapsto f_k}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_k }
{ \in} { \Gamma { \left( U_i \cap U_j , {\mathcal O}_{ U_i \cap U_j }^r \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_k }
{ = }{ (f_{k \ell})_{1 \leq \ell \leq r} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_{k \ell} }
{ \in} { \Gamma (U_i \cap U_j, {\mathcal O}_X ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Ferner ist die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der Matrix ${ \left( f_{k \ell} \right) }_{k \ell}$ eine Einheit in
\mathl{\Gamma (U_i \cap U_j, {\mathcal O}_X )}{} Dies definiert über
\mathdisp {T_k \longmapsto \sum_{ \ell = 1}^r f_{k \ell} S_\ell} { }
einen linearen $\Gamma (U_i \cap U_j, {\mathcal O}_X )$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \Gamma (U_i \cap U_j, {\mathcal O}_X ) [T_1 , \ldots , T_r] } { \Gamma (U_i \cap U_j, {\mathcal O}_X ) [S_1 , \ldots , S_r] } {} und einen \definitionsverweis {Schemaisomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi_{ji}} { { {\mathbb A}_{ U_i \cap U_j }^{ r } } } { { {\mathbb A}_{ U_i \cap U_j }^{ r } } } {,} der von der in der Definition eines geometrischen Vektorbündels geforderten Form ist. Wir betrachten das \definitionsverweis {Verklebungsdatum von beringten Räumen}{}{}
\mathdisp {(W_i= { {\mathbb A}_{ U_i }^{ r } } , \, W_{ij} = { {\mathbb A}_{ U_i }^{ r } } {{|}}_{U_j} \subseteq W_i, \, \varphi_{ji}: W_{ij} \longrightarrow W_{ji} )} { . }
Die Kozykelbedingung ist dabei erfüllt, da die Daten von dem globalen Objekt ${ \mathcal F }$ herrühren. Aufgrund von Lemma 7.10 gibt es ein Schema $W$, das dieses Verklebungsdatum realisiert. Die lokalen Projektionen \maabbdisp {} {W_i = { {\mathbb A}_{ U_i }^{ r } } } {U_i } {} verkleben dabei zu einem Schemamorphismus \maabbdisp {} {W } {X } {.} Aufgrund der Konstruktion handelt es sich um ein geometrisches Vektorbündel über $X$. Es sei ${ \mathcal S }$ die Garbe der Schnitte zu $W$. Wir behaupten, dass es einen natürlichen Isomorphismus \maabbdisp {} { { \mathcal F } } {{ \mathcal S } } {} gibt. Wegen der Konstruktion gibt es natürliche Garbenisomorphismen \maabbdisp {} { { \mathcal F } {{|}}_{U_i} } {{ \mathcal S } {{|}}_{U_i} } {} für jede offene Menge $U_i$, und deren Einschränkungen auf die Durchschnitte
\mathl{U_i \cap U_j}{} stimmen überein. Nach Korollar 4.10 gibt es daher einen globalen Garbenhomomorphismus, und dieser ist nach Lemma 4.6 ein Isomorphismus.

Die Injektivität der Zuordnung ergibt sich, da sich ein Vektorbündel \zusatzklammer {bis auf Isomomorphie} {} {} durch seine Garbe der Schnitte durch die beschriebene Konstruktion rekonstruieren lässt. Für die Aussage über die Homomorphismen siehe Aufgabe 17.21, Aufgabe 17.22 und Aufgabe 17.23.

}


Die freie Garbe vom Rang $r$ entspricht unter dieser Äquivalenz dem affinen Raum
\mathl{{ {\mathbb A}_{ X }^{ r } }}{} über $X$.




\inputbeispiel{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element. Dieses definiert über \maabbeledisp {} { \operatorname{Spek} { \left( R[T] \right) } = {\mathbb A}^{1}_{R} } {\operatorname{Spek} { \left( R[T] \right) } = {\mathbb A}^{1}_{R} } {T} { fT } {,} einen \definitionsverweis {Homomorphismus von Vektorbündeln}{}{.} Dieser ist in den Fasern über den Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} in denen $f$ eine Einheit ist \zusatzklammer {also den Punkten aus $D(f)$} {} {,} eine Bijektion und über den anderen Punkten die Nullabbildung. Die Abbildung ist also nur dann injektiv \zusatzklammer {und zugleich surjektiv und bijektiv} {} {,} wenn $f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist. Das Element $f$ definiert aber auch durch Multiplikation einen \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} der Strukturgarbe in sich \maabbeledisp {} { {\mathcal O}_{ X } } { {\mathcal O}_{ X } } {1} {f } {.} Auf jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt also der $\Gamma (U, {\mathcal O}_X )$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {\Gamma (U, {\mathcal O}_X ) } {\Gamma (U, {\mathcal O}_X ) } {r} {rf } {,} vor. Dabei ist dieser Garbenhomomorphismus genau dann injektiv, wenn $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$ ist, und bijektiv genau dann, wenn $f$ eine Einheit ist. Der Injektivitätsbegriff fällt also für Vektorbündel und lokal freie Garben auseinander.


}


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