Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 17

Geometrische Vektorbündel

Zu einem affinen Schema ${}U=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ nennt man

${}{{\mathbb {A} }_{U}^{r}}:=\operatorname {Spek} {\left(R[T_{1},\ldots ,T_{r}]\right)}\,$

zusammen mit der natürlichen Projektion auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, also der Spektrumsabbildung zu ${}R\rightarrow R[T_{1},\ldots ,T_{r}]$, das triviale Bündel vom Rang ${}r$ über ${}U$. Zu einem Punkt ${}P\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, der dem Ringhomomorphimus ${}R\rightarrow \kappa (P)$ entspricht, ist die Faser von ${}{{\mathbb {A} }_{U}^{r}}$ über ${}P$ durch ${}{{\mathbb {A} }_{\kappa (P)}^{r}}$, also dem ${}r$-dimensionalen affineen Raum über dem Restekörper ${}\kappa (P)$, gegeben. Zu einem beliebigen Schema ${}X$ mit einer affinen Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ definiert man ${}{{\mathbb {A} }_{X}^{r}}$, indem man die ${}{{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}$ im Sinne von Lemma 7.10 so verklebt, wie es die Verklebungen der ${}U_{i}$ (innerhalb von ${}X$) vorgeben. Dieses triviale Bündel vom Rang ${}r$ kommt zusammen mit der Projektion ${}{{\mathbb {A} }_{X}^{r}}\rightarrow X$. Man spricht auch vom affinen Zylinder vom Rang ${}r$ über ${}X$ und schreibt dafür auch ${}X\times {{\mathbb {A} }_{}^{r}}$. Diese trivialen Bündel sind die lokalen Bausteine für das Konzept eines geometrischen Vektorbündels über einem Schema.

Definition

Es sei ${}X$ ein Schema. Ein Schema ${}V$ zusammen mit einem Morphismus ${}p\colon V\rightarrow X$ heißt geometrisches Vektorbündel vom Rang ${}r$ über ${}X$, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und ${}U_{i}$- Isomorphismen

$\psi _{i}\colon U_{i}\times {{\mathbb {A} }_{}^{r}}={{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}\longrightarrow V{|}_{U_{i}}=p^{-1}(U_{i})$

derart gibt, dass für jede offene affine Teilmenge ${}U\subseteq U_{i}\cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen

$\psi _{j}^{-1}\circ \psi _{i}\colon {{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}{|}_{U}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{U_{j}}^{r}}{|}_{U}$

lineare Automorphismen sind, also durch einen Automorphismus des Polynomringes ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})[T_{1},\ldots ,T_{r}]$ der Form ${}T_{i}\mapsto \sum _{j=1}^{r}a_{ij}T_{j}$ induziert sind.

Die Abbildungen ${}\psi _{i}$ heißen dabei die Trivialisierungen des Vektorbündels.

Das folgende Beispiel schließt an Beispiel 14.6 an.

Beispiel

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$, in dem die Gleichheit

${}2\cdot 3=6=(1+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })(1-{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })\,$

gilt und darüber die ${}R$- Algebra

${}A=R[X,Y]/(3X-(1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})Y)\,$

mit der zugehörigen Spektrumsabbildung ${}\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Wir behaupten, dass ein geometrisches Geradenbündel vorliegt, wofür wir die offene Überdeckung ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=D(2)\cup D(3)$ heranziehen. Es ist

${}A_{2}=R_{2}[X,Y]/(3X-(1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})Y)\cong R_{2}[S]\,$

mit ${}X\mapsto 2S$, ${}Y\mapsto (1+{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})S$ wegen ${}S=X/2$ und ${}X=2S$ und ${}Y={\frac {3}{1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}}X={\frac {1+{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}{2}}X={\left(1+{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}\right)}S$ ein Isomorphismus. Ebenso ist

${}A_{3}=R_{3}[X,Y]/(3X-(1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})Y)\cong R_{3}[T]\,$

mit ${}X\mapsto (1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})T$, ${}Y\mapsto 3T$ wegen ${}T=Y/3$ und ${}Y=3T$ und ${}X={\frac {1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}{3}}Y={1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}|}T$ ein Isomorphismus. Auf ${}D(6)=D(2)\cap D(3)$ ist die Übergangsabbildung durch ${}S={\frac {X}{2}}={\frac {1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}{2}}T$ gegeben, also linear.

Beispiel

Wir betrachten den Ringhomomorphismus

$K[X,Y,Z]\longrightarrow K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW),$

die zugehörige Spektrumsabbildung

$\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$

sowie deren Einschränkung

$\varphi \colon \operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}\supseteq D(X)\cup D(Y)\cup D(Z)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\setminus \{(0,0,0)\}=D(X)\cup D(Y)\cup D(Z).$

Letzteres ist ein geometrisches Vektorbündel vom Rang ${}2$ über dem punktierten affinen Raum. Natürliche Trivialisierungen sind auf den ${}D(X),D(Y),D(Z)$ gegeben, vergleiche Beispiel 1.2. Beispielsweise ist

${}{\left(K[X,Y,Z][U,V,W]/(XU+YV+ZW)\right)}_{X}\cong K[X,Y,Z]_{X}[V,W]\,,$

da man

${}U=-{\frac {YV+ZW}{X}}\,$

ausdrücken kann.

Beispiel

Wir betrachten den projektiven Raum

${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}\,$

und das projektive Spektrum

${}W_{k}=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n},Y]\right)}\,,$

wobei die Grade von ${}X_{i}$ gleich ${}1$ sind und ${}Y$ den Grad ${}k$ bekommt. Gemäß Satz 12.11 induziert die homogene Inklusion

${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\subset K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n},Y]\,$

einen Schemamorphismus

$p\colon W_{k}\supset D_{+}(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})=V_{k}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}.$

Auf ${}D_{+}(X_{i})$ liegt die Abbildung

$D_{+}(X_{i})\cong \operatorname {Spek} {\left(K[{\frac {X_{j}}{X_{i}}},j\neq i,{\frac {Y}{X_{i}^{k}}}]\right)}\longrightarrow D_{+}(X_{i})\cong \operatorname {Spek} {\left(K[{\frac {X_{j}}{X_{i}}},j\neq i]\right)}$

vor, also ein triviales Geradenbündel. Zu ${}D_{+}(X_{i})$ und ${}D_{+}(X_{j})$ werden die Übergangsabbildungen über

${}\Gamma {\left(D_{+}(X_{i}X_{j}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=K[{\frac {X_{r}}{X_{i}}},r\neq i,{\frac {X_{s}}{X_{j}}},s\neq j]\,$

durch ${}{\frac {Y}{X_{i}^{k}}}\mapsto {\frac {Y}{X_{j}^{k}}}\cdot {\frac {X_{j}^{k}}{X_{i}^{k}}}$ gegeben. Diese sind also linear und es liegt ein Geradenbündel über dem projektiven Raum vor.

Ein geometrisches Vektorbündel hat weitere Strukturen, die wir uns zuerst im Fall

${{\mathbb {A} }_{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}^{r}}=\operatorname {Spek} {\left(R[T_{1},\ldots ,T_{r}]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

klar machen. Der ${}R$- Algebrahomomorphismus

$R[T_{1},\ldots ,T_{r}]\longrightarrow R,\,T_{i}\longmapsto 0,$

führt zu der Spektrumsabbildung

$\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R[T_{1},\ldots ,T_{r}]\right)},$

die eine abgeschlossene Einbettung ist und die man den Nullschnitt nennt. Der ${}R$-Algebrahomomorphismus

$R[T_{1},\ldots ,T_{r}]\longrightarrow R[S_{1},\ldots ,S_{r},T_{1},\ldots ,T_{r}],\,T_{i}\longmapsto S_{i}+T_{i},$

führt zur Spektrumsabbildung

$\alpha \colon {{\mathbb {A} }_{R}^{r+r}}\cong {{\mathbb {A} }_{R}^{r}}\times _{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}{{\mathbb {A} }_{R}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{R}^{r}},$

die man die Addition auf dem Vektorbündel nennt. Ferner führt der ${}R$-Algebrahomomorphismus

$R[T_{1},\ldots ,T_{r}]\longrightarrow R[Z,T_{1},\ldots ,T_{r}],\,T_{i}\longmapsto ZT_{i},$

zu einer Spektrumsabbildung

${{\mathbb {A} }_{R}^{r+1}}\cong {\mathbb {A} }_{R}^{1}\times _{\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}{{\mathbb {A} }_{R}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{R}^{r}},$

die man die Skalarmultiplikation nennt.

Lemma

Ein geometrisches Vektorbündel ${}p\colon V\rightarrow X$ über einem Schema ${}X$

besitzt einen Nullschnitt

$X\longrightarrow V,$

eine Additionsabbildung

$V\times _{X}V\longrightarrow V$

und eine Skalarmultiplikation

${\mathbb {A} }_{X}^{1}\times _{X}V\longrightarrow V.$

Beweis

Auf einer affinen Teilmenge ${}U=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\subseteq X$ mit einer Trivialisierung

${}V{|}_{U}\cong {{\mathbb {A} }_{U}^{r}}\cong \operatorname {Spek} {\left(R[T_{1},\ldots ,T_{r}]\right)}\,$

gibt es den durch ${}T_{i}\mapsto 0$ gegebenen Nullschnitt. Wegen der Linearität der Übergangsabbildungen ist dieser Schnitt auf dem Durchschnitt ${}U_{i}\cap U_{j}$ unabhängig von der gewählten affinen Menge und somit wohldefiniert. Die Existenz der Addition beruht im Wesentlichen darauf, dass bei einem linearen ${}R$-Algebraisomorphimus

$\theta \colon R[T_{1},\ldots ,T_{r}]\longrightarrow R[U_{1},\ldots ,U_{r}]$

das Diagramm

${\begin{matrix}R[T_{1},\ldots ,T_{r}]&{\stackrel {\alpha ^{*}}{\longrightarrow }}&R[T_{1},\ldots ,T_{r},S_{1},\ldots ,S_{r}]&\\\!\!\!\!\!\theta \downarrow &&\downarrow \theta \times \theta \!\!\!\!\!&\\R[U_{1},\ldots ,U_{r}]&{\stackrel {\alpha ^{*}}{\longrightarrow }}&R[U_{1},\ldots ,U_{r},V_{1},\ldots ,V_{r}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Die Existenz der Skalarmultiplikation ergibt sich in ähnlicher Weise.

$\Box$

Vektorbündelhomomorphismen

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorbündel über einem Schema ${}X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ist ein Schemamorphismus von ${}V$ nach ${}W$ über ${}X$ derart, dass es zu jedem Punkt ${}P\in X$ eine offene affine Umgebung ${}P\in U\subseteq X$ gibt, die die vorgegebenen Trivialisierungsumgebungen der Bündel verfeinern (also ${}U\subseteq U_{i},U'_{j}$ für geeignete ${}i,j$) und für die die Hintereinanderschaltungen

${{\mathbb {A} }_{U}^{r}}{\stackrel {\psi _{i}{|}_{U}}{\longrightarrow }}V{|}_{U}{\stackrel {\varphi {|}_{U}}{\longrightarrow }}W{|}_{U}{\stackrel {\theta _{j}^{-1}{|}_{U}}{\longrightarrow }}{{\mathbb {A} }_{U}^{s}}$

auf der Ringebene durch einen linearen Einsetzungshomomorphismus gegeben sind.

In der folgenden Aussage ist Kern als Urbild des Nullschnittes zu verstehen, also in jeder Faser als Urbild des Nullpunktes. Bei einem Homomorphismus von Vektorbündeln ist über jedem Punkt ${}P\in X$ die Faserabbildung durch eine Matrix über dem zugehörigen Restekörper ${}\kappa (P)$ gegeben, allerdings gibt es in den affinen Räumen über diesem Körper Punkte mit ganz unterschiedlichenen Restekörpern, so dass man Konzepte der linearen Algebra mit einer gewissen Vorsicht anwenden muss.

Lemma

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorbündel über einem Schema ${}X$ und ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ein surjektiver Homomorphismus von Vektorbündeln.

Dann ist der (punktweise genommene) Kern ein Vektorbündel über ${}X$.

Beweis

Siehe Aufgabe 17.18.

$\Box$

Ohne die Bedingung der Surjektivität ist der Kern eines Vektorbündelhomomorphismus kein Vektorbündel. In Beispiel 17.3 ist der punktweise definierte Kern nur auf dem punktierten Spektrum ein Vektorbündel, im Nullpunkt degeneriert der Kern zu einem dreidimensionalen Vektorraum.

Vektorbündel und lokal freie Garben

Definition

Zu einem geometrischen Vektorbündel ${}p\colon V\rightarrow X$ auf einem Schema ${}X$ nennt man die zu einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ durch

${}\Gamma (U,{\mathcal {F}})={\left\{s:U\rightarrow V{|}_{U}{\text{ Schemamorphismus}}\mid p\circ s=\operatorname {Id} _{U}\right\}}\,$

definierte Garbe ${}{\mathcal {F}}$ die Garbe der Schnitte in ${}V$.

Lemma

Zu einem geometrischen Vektorbündel ${}p\colon V\rightarrow X$

ist die Garbe der Schnitte ${}{\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe.

Beweis

Durch die Addition

$V\times _{X}V\longrightarrow V$

gibt es aufgrund von Aufgabe 17.19 eine wohldefinierte Addition auf der Garbe der Schnitte, wodurch ${}{\mathcal {F}}$ wegen Aufgabe 17.11 zu einer Garbe von kommutativen Gruppen wird. Durch die Skalarmultipliaktion

${\mathbb {A} }_{X}^{1}\times _{X}V\longrightarrow V$

erhält man eine ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulstruktur auf ${}{\mathcal {F}}$. Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ mit ${}V{|}_{U}\cong {{\mathbb {A} }_{}^{r}}_{U}$ ist

${}{\mathcal {F}}{|}_{U}\cong {\left({\mathcal {O}}_{X}{|}_{U}\right)}^{r}\,$

und ${}{\mathcal {F}}$ ist lokal frei.

$\Box$

Geometrische Vektorbündel und lokal freie Garben sind im Wesentlichen äquivalente Objekte.

Satz

Auf einem Schema

entsprechen sich geometrische Vektorbündel und lokal freie Garben. Ferner entsprechen sich Vektorbündelhomomorphismen und ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulhomomorphismen.

Einem geometrischen Vektorbündel ${}V$ über ${}X$ wird dabei die nach Lemma 17.9 lokal freie Garbe der Schnitte ${}{\mathcal {S}}_{V}$ zugeordnet und einem Vektorbündelhomomorphismus ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ wird der Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {S}}_{V}\rightarrow {\mathcal {S}}_{W}$ zugeordnet, der einen Schnitt ${}s\colon U\rightarrow V{|}_{U}$ auf den Schnitt ${}\varphi \circ s\colon U\rightarrow W{|}_{U}$ abbildet.

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass jede lokal freie Garbe isomorph zu einer Garbe der Schnitte in einem Vektorbündel ist. Eine lokal freie Garbe ${}{\mathcal {F}}$ vom Rang ${}r$ ist durch eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ (wobei wir die ${}U_{i}$ als affin annehmen können) und Isomorphismen

$\varphi _{i}\colon {\mathcal {O}}_{U_{i}}^{r}\longrightarrow {\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}$

gegeben. Die Hintereinanderschaltung

${\mathcal {O}}_{U_{i}}^{r}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}={\mathcal {O}}_{U_{i}\cap U_{j}}^{r}{\stackrel {\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}{\longrightarrow }}{\mathcal {F}}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}{\stackrel {\varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{U_{i}\cap U_{j}}^{r}={\mathcal {O}}_{U_{j}}^{r}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

ist nach Satz 13.10 durch ${}e_{k}\mapsto f_{k}$ mit

${}f_{k}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{U_{i}\cap U_{j}}^{r}\right)}\,$

gegeben. Dabei ist ${}f_{k}=(f_{k\ell })_{1\leq \ell \leq r}$ mit

${}f_{k\ell }\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})\,.$

Ferner ist die Determinante der Matrix ${}{\left(f_{k\ell }\right)}_{k\ell }$ eine Einheit in ${}\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})$ Dies definiert über

$T_{k}\longmapsto \sum _{\ell =1}^{r}f_{k\ell }S_{\ell }$

einen linearen ${}\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})$- Algebraisomorphismus

$\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})[T_{1},\ldots ,T_{r}]\longrightarrow \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})[S_{1},\ldots ,S_{r}]$

und einen Schemaisomorphismus

$\varphi _{ji}\colon {{\mathbb {A} }_{U_{i}\cap U_{j}}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{U_{i}\cap U_{j}}^{r}},$

der von der in der Definition eines geometrischen Vektorbündels geforderten Form ist. Wir betrachten das Verklebungsdatum von beringten Räumen

$(W_{i}={{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}},\,W_{ij}={{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}{|}_{U_{j}}\subseteq W_{i},\,\varphi _{ji}:W_{ij}\longrightarrow W_{ji}).$

Die Kozykelbedingung ist dabei erfüllt, da die Daten von dem globalen Objekt ${}{\mathcal {F}}$ herrühren. Aufgrund von Lemma 7.10 gibt es ein Schema ${}W$, das dieses Verklebungsdatum realisiert. Die lokalen Projektionen

$W_{i}={{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}\longrightarrow U_{i}$

verkleben dabei zu einem Schemamorphismus

$W\longrightarrow X.$

Aufgrund der Konstruktion handelt es sich um ein geometrisches Vektorbündel über ${}X$. Es sei ${}{\mathcal {S}}$ die Garbe der Schnitte zu ${}W$. Wir behaupten, dass es einen natürlichen Isomorphismus

${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {S}}$

gibt. Wegen der Konstruktion gibt es natürliche Garbenisomorphismen

${\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {S}}{|}_{U_{i}}$

für jede offene Menge ${}U_{i}$, und deren Einschränkungen auf die Durchschnitte ${}U_{i}\cap U_{j}$ stimmen überein. Nach Korollar 4.10 gibt es daher einen globalen Garbenhomomorphismus, und dieser ist nach Lemma 4.6 ein Isomorphismus.

Die Injektivität der Zuordnung ergibt sich, da sich ein Vektorbündel (bis auf Isomomorphie) durch seine Garbe der Schnitte durch die beschriebene Konstruktion rekonstruieren lässt. Für die Aussage über die Homomorphismen siehe Aufgabe 17.21, Aufgabe 17.22 und Aufgabe 17.23.

$\Box$

Die freie Garbe vom Rang ${}r$ entspricht unter dieser Äquivalenz dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{X}^{r}}$ über ${}X$.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein Element. Dieses definiert über

$\operatorname {Spek} {\left(R[T]\right)}={\mathbb {A} }_{R}^{1}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R[T]\right)}={\mathbb {A} }_{R}^{1},\,T\longmapsto fT,$

einen Homomorphismus von Vektorbündeln. Dieser ist in den Fasern über den Punkten ${}P\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, in denen ${}f$ eine Einheit ist (also den Punkten aus ${}D(f)$), eine Bijektion und über den anderen Punkten die Nullabbildung. Die Abbildung ist also nur dann injektiv (und zugleich surjektiv und bijektiv), wenn ${}f$ eine Einheit ist. Das Element ${}f$ definiert aber auch durch Multiplikation einen Homomorphismus der Strukturgarbe in sich

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X},\,1\longmapsto f.$

Auf jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ liegt also der ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$- Modulhomomorphismus

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}),\,r\longmapsto rf,$

vor. Dabei ist dieser Garbenhomomorphismus genau dann injektiv, wenn ${}f$ ein Nichtnullteiler in ${}R$ ist, und bijektiv genau dann, wenn ${}f$ eine Einheit ist. Der Injektivitätsbegriff fällt also für Vektorbündel und lokal freie Garben auseinander.

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