Kurs:Differentialgeometrie/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	6	6	0	6	11	5	5	3	7	2	0	6	63

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine geodätische Kurve auf einer differenzierbaren Hyperfläche  ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. 
2. Die Rotationsmenge (um die ${}x$-Achse) zu einer Teilmenge  ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$. 
3. Die Tangentialabbildung

   $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

   zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.

4. Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.
6. Ein metrischer linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche  ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. 
2. Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
3. Der Satz über die Partition der Eins.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme für die durch

${}x^{2}+y^{2}+2z^{2}=4\,$

gegebene Fläche ${}Y$ und den Punkt

${}P=\left(1,\,1,\,1\right)\in Y\,$

eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung ${}L_{P}$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche  ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. 

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine kompakte topologische ${}d$-dimensionale Mannigfaltigkeit,  ${}d\geq 1$.  Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$  und eine stetige surjektive Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow M$

gibt.

Aufgabe * (11 (1+3+1+2+4) Punkte)

Wir betrachten die Menge

${}N=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid A{\text{ ist nilpotent}}\right\}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,$

der reellen nilpotenten ${}2\times 2$-Matrizen sowie die Menge

${}M=N\setminus \{{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\}\,.$

a) Ist ${}N$ zusammenhängend?

b) Zeige, dass ${}M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge  ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{4}$  ist.

c) Bestimme die Dimension von ${}M$.

d) Ist ${}M$ zusammenhängend?

e) Überdecke ${}M$ mit expliziten topologischen Karten.

Aufgabe (5 Punkte)

Sagen Sie etwas Schlaues zum Thema Möbiusband.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},xy-z^{3}).$

Berechne die Matrix der Abbildung

$\bigwedge ^{2}T_{P}(\varphi )\colon \bigwedge ^{2}T_{P}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}$

im Punkt  ${}P=(1,3,5)$  bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien  ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$  und  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit ${}L$ und  ${}S\subseteq L$  eine messbare Teilmenge. Zeige

${}\int _{S}\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi (S)}\omega \,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel

$p\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

vom Rang ${}1$ über ${}\mathbb {R} ^{2}$ den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole  ${}\Gamma _{1}(x,y)=x^{5}-x^{2}y^{2}+3y^{4}$  und  ${}\Gamma _{2}(x,y)=7x^{3}+xy^{2}-4y^{5}$  gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator ${}R\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.