Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 3

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Division mit Rest

In dieser und der nächsten Vorlesung stehen die ganzen Zahlen im Vordergrund, wobei wir uns insbesondere für die Gruppenstruktur interessieren. Zu einer ganzen Zahl ist die Menge

aller Vielfachen von eine Untergruppe von . Wir wollen zeigen, dass jede Untergruppe der ganzen Zahlen diese Gestalt besitzt, also von einem Element erzeugt wird.



Satz  

Sei eine fixierte positive natürliche Zahl.

Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl eine eindeutig bestimmte ganze Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit

Beweis  

Zur Existenz. Bei ist eine Lösung. Sei positiv. Da positiv ist, gibt es ein Vielfaches . Daher gibt es auch eine Zahl mit und . Sei . Dann ist

und daher ist wie gewünscht. Bei negativ kann man schreiben nach dem Resultat für positive Zahlen. Daraus ergibt sich

Im zweiten Fall erfüllen und die Bedingungen.
Zur Eindeutigkeit. Sei , wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung . Dann gilt . Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als , links steht aber ein Vielfaches von , so dass die Differenz sein muss und die beiden Darstellungen überein stimmen.


In der Notation des vorstehenden Satzes soll an Quotient und an Rest erinnern. Die Division mit Rest kann man auch so verstehen, dass man jede rationale Zahl als

schreiben kann, wobei die größte ganze Zahl bedeutet und der rationale Rest die Bedingungen erfüllt. In dieser Form kann man auch eine Division mit Rest für jede reelle Zahl aus den Axiomen der reellen Zahlen beweisen.



Satz  

Die Untergruppen von sind genau

die Teilmengen der Form

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl .

Beweis  

Eine Teilmenge der Form ist aufgrund der Distributivgesetze eine Untergruppe. Sei umgekehrt eine Untergruppe. Bei kann man nehmen, so dass wir voraussetzen dürfen, dass neben noch mindestens ein weiteres Element enthält. Wenn negativ ist, so muss die Untergruppe auch das Negative davon, also enthalten, welches positiv ist. D.h. enthält auch positive Zahlen. Sei nun die kleinste positive Zahl aus . Wir behaupten . Dabei ist die Inklusion klar, da mit alle (positiven und negativen) Vielfachen von dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

Wegen und ist auch . Nach der Wahl von muss wegen gelten: Dies bedeutet und damit , also .


Bevor wir uns fragen, wie man zu einer durch verschiedene Zahlen erzeugte Untergruppe einen einzigen Erzeuger findet, besprechen wir einige Folgerungen für endliche Gruppen.



Lemma  

Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung .

Dann ist die Menge

eine Untergruppe von , die von erzeugt wird.

Beweis  

Es ist einfach zu sehen, dass eine Untergruppe von ist. Da die Ordnung von ist, gilt und damit . Nach Satz 3.2 ist mit . Bei wäre aber nach Definition von und könnte nicht die Ordnung sein.




Endliche zyklische Gruppen



Satz  

Sei eine zyklische Gruppe.

Dann ist auch jede Untergruppe von zyklisch.

Beweis  

Sei ein Erzeuger von , d.h. jedes Element lässt sich darstellen als mit . Es sei eine Untergruppe. Dazu definieren wir die Menge

Dies ist eine Untergruppe von . Aus und folgt sofort aufgrund von Lemma 2.2

also . Ebenso gehört wegen

auch das Negative zu . Daher ist nach Satz 3.2 mit einem eindeutig bestimmten . Wir behaupten, dass

ist, dass also das -Fache von die Untergruppe erzeugt. Wegen ist und die Inklusion klar. Sei umgekehrt und . Dann ist für ein und daher


Die folgende Aussage gilt allgemeiner in jeder endlichen Gruppe und für jede Untergruppe, der Beweis braucht dann aber das Konzept der Nebenklassen.



Korollar  

Sei eine endliche zyklische Gruppe und ein Element.

Dann teilt die Ordnung die Gruppenordnung .

Beweis  

Sei ein Erzeuger von . Dann ist die Ordnung von gleich der Ordnung von . Wir schreiben . Dann ist

Daher gehört die Gruppenordnung zur Menge

Diese hat nach Lemma 3.3 die Gestalt , wobei die Ordnung von ist. Also ist und ist ein Teiler von .




Teilbarkeitsbegriffe

Es sei eine Menge von ganzen Zahlen und die dadurch erzeugte Untergruppe von , also

Nach den obigen Resultaten gibt es ein eindeutig bestimmtes mit . Wie findet man dieses ? Hierzu muss man vor allem den Fall von zwei Erzeugern verstehen. Denn wenn ist, so ist auch

und die Anzahl der Erzeuger ist um eins reduziert. In diesem Zusammenhang erinnern wir an verschiedene Sprechweisen, die schon aus der Schule bekannt sind.


Definition  

Man sagt, dass die ganze Zahl die ganze Zahl teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es eine ganze Zahl derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .



Lemma

In gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

  1. Für jede ganze Zahl gilt und .
  2. Für jede ganze Zahl gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jede ganze Zahl .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige ganze Zahlen .

Beweis

Siehe Aufgabe 3.6.



Definition  

Seien ganze Zahlen. Dann heißt eine ganze Zahl gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt ().

Eine ganze Zahl heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler dieses teilt.

Die Elemente heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler ist.



Lemma  

Seien ganze Zahlen und die davon erzeugte Untergruppe.

Eine ganze Zahl ist ein gemeinsamer Teiler der genau dann, wenn ist, und ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn ist.

Beweis  

Aus folgt sofort für jedes , was gerade bedeutet, dass diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Sei umgekehrt ein gemeinsamer Teiler. Dann ist und da die kleinste Untergruppe ist, die alle enthält, muss gelten.

Aufgrund von Satz 3.2 wissen wir, dass es eine ganze Zahl gibt mit . Für einen anderen gemeinsamen Teiler der gilt , so dass von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist.



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