Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Arbeitsblatt 25

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass in einem -System, in dem das Axiomenschema

gilt, bereits das Leerheitsaxiom gilt.


Aufgabe

Zeige die Äquivalenz (innerhalb der -Modallogik) der folgenden modallogischen Axiomenschemata.

  1. Das Reflexivitätsaxiom ist äquivalent zu
  2. Das Symmetrieaxiom ist äquivalent zu
  3. Das Transitivitätsaxiom ist äquivalent zu
  4. Das euklidische Axiom ist äquivalent zu


Zur folgenden Aufgabe vergleiche auch Aufgabe 23.17.

Aufgabe *

Es sei ein -modallogisches System, in dem zusätzlich das Transitivitätsaxiom gelte. Ferner sei ein modallogischer Ausdruck, für den

gelte. Zeige für einen beliebigen Ausdruck die Ableitbarkeit


Aufgabe

Zeige, dass das Löb-Axiom äquivalent zu

ist.


Die Aussage „ich weiß, dass ich nichts weiß“ wird Sokrates zugeschrieben. In einer epistemischen -Modallogik folgt daraus, dass Sokrates alles weiß.

Aufgabe *

Wir interpretieren den Satz von Sokrates, „Ich weiß, dass ich nichts weiß“, als modallogisches Axiomenschema

Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Dieses Axiomenschema ist paradox.
  2. Dieses Axiomenschema ist innerhalb der -Modallogik äquivalent zu
  3. Dieses Axiomenschema ist innerhalb der -Modallogik äquivalent zu

    also zum Leerheitsaxiom.


Aufgabe *

Es sei die durch das Löb-Axiom gegebene -Modallogik, also die Beweisbarkeitslogik. Wir setzen

(als Abkürzung für einen Widerspruch). Zeige, dass

ableitbar ist.


Aufgabe

Es sei eine Menge von modallogischen Ausdrücken, die allesamt nicht paradox seien und es sei

eine Ableitung. Zeige, dass ebenfalls nicht paradox ist.


Aufgabe

Welche modallogischen Axiomenschemata gelten in der Prädikatenlogik, wenn man den Notwendigkeitsoperator als mit einer fixierten Variablen interpretiert?


Aufgabe

Zeige, dass ein gerichteter Graph, der sowohl euklidisch als auch symmetrisch ist, auch transitiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein gerichteter Graph genau dann reflexiv ist, wenn für die Nachfolgermengen zu jeder Teilmenge die Beziehung

gilt.


Auf einer Menge nennt man eine Abbildung

einen Hüllenoperator, wenn die folgende Eigenschaften für alles Teilmengen gelten.

  1. Mit

    ist auch


Aufgabe

Es sei ein gerichteter Graph. Welche der Eigenschaften eines Hüllenoperators erfüllt die Abbildung

welche nicht?


Auf einer Menge nennt man eine Abbildung

einen topologischen Hüllenoperator, wenn die folgenden Eigenschaften für alle Teilmengen gelten.


Aufgabe

Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es sei ein topologischer Raum. Dann ist die Zuordnung

    die also einer Teilmenge ihren Abschluss (oder ihre abgeschlossene Hülle) zuordnet, ein topologischer Hüllenoperator.

  2. Auf sei ein topologischer Hüllenoperator gegeben. Dann erhält man eine Topologie auf , indem man die Teilmengen mit als abgeschlossen erklärt.


Aufgabe

Es sei ein gerichteter Graph. Wie kann man graphentheoretisch charakterisieren, dass die Abbildung

ein topologischer Hüllenoperator ist?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das modallogische Leerheitsaxiom das Autismusaxiom und dass das Autismusaxiom das Phantasiearmutsaxiom impliziert. Zeige ferner, dass diese Implikationen nicht umkehrbar sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine fatalistische -Modallogik, die einen paradoxen Ausdruck enthält, bereits widersprüchlich ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass das Löb-Axiom paradox ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für einen gerichteten Graphen die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist reflexiv und euklidisch.
  2. ist symmetrisch, transitiv und sackgassenfrei.
  3. ist eine Äquivalenzrelation


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass ein gerichteter Graph genau dann transitiv ist, wenn für die Nachfolgermengen zu jeder Teilmenge die Beziehung

gilt.



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