Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 18

Partialbruchzerlegung

Betrachten wir den Bruch $\frac{1}{6}$. Diesen kann man als

$\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}$

schreiben, man kann also die Primfaktoren des Nenners multiplikativ trennen. Es gilt aber auch, und das ist überraschender, die Darstellung

$\frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},$

man kann also in diesem Fall den Bruch als eine Summe von Brüchen schreiben, bei denen jeweils nur ein Primfaktor des Nenners vorkommt. In ähnlicher Weise gilt

$\frac{1}{35}=-\frac{2}{5}+\frac{3}{7},$

auch hier lässt sich ein Bruch mit einem „komplizierten“ Nenner als Summe von Brüchen mit einem einfachen Nenner schreiben. Dagegen ist es nicht möglich, $\frac{1}{4}$ als Summe von $\frac{1}{2}$ zu schreiben. Wir werden gleich sehen, dass man jede rationale Zahl als eine Summe von Stammbrüchen zu Primzahlpotenzen erhalten kann. Dies beruht auf einer Gesetzmäßigkeit, die allgemeiner für Hauptidealbereiche gilt.

Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $f,g\in R$, $g\ne 0$, mit der Primfaktorzerlegung

$g=p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k}.$

Dann gibt es im Quotientenkörper $Q(R)$ eine Darstellung

$\frac{f}{g}=\frac{a_1}{p_1^{r_1}}+\frac{a_2}{p_2^{r_2}}+\cdots +\frac{a_k}{p_k^{r_k}}$

mit  $a_1,\dots ,a_k\in R$. 

Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl $k$ der verschiedenen Primfaktoren von $g$. Wenn $g$ eine Einheit ist oder nur ein Primfaktor (mit einem beliebigen Exponenten) vorkommt, ist nichts zu zeigen. Es sei also  $k\ge 2$  und die Aussage für kleinere $k$ schon bewiesen. Sei

$h=p_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k}.$

Da $p_1^{r_1}$ und $h$ teilerfremd sind, gibt es nach Satz 8.5 eine Darstellung der Form

$u{p}_1^{r_1}+vh=1$

mit  $u,v\in R$.  Division durch

$g=p_1^{r_1}h$

ergibt

$\frac{1}{g}=\frac{v}{p_1^{r_1}}+\frac{u}{h}.$

Multiplikation mit $f$ liefert eine Darstellung der Form

$\frac{f}{g}=\frac{a_1}{p_1^{r_1}}+\frac{c}{h}$

und die Induktionsvoraussetzung angewendet auf $\frac{c}{h}$ liefert das Resultat.

$◻$

Diese additive Zerlegung in Brüche mit einfacheren Nennern heißt die Partialbruchzerlegung von $f/g$. Für  $R=\mathbb{Z}$  und  $R=K[X]$  und überhaupt für euklidische Bereiche lässt sich diese Aussage noch präzisieren.

Satz

Es sei $R$ ein euklidischer Bereich und $f,g\in R$, $g\ne 0$, mit der Primfaktorzerlegung

$g=p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k}.$

Dann gibt es im Quotientenkörper $Q(R)$ eine Darstellung

$\frac{f}{g}=b+\frac{a_1}{p_1^{r_1}}+\frac{a_2}{p_2^{r_2}}+\cdots +\frac{a_k}{p_k^{r_k}}$

mit  $b,a_1,\dots ,a_k\in R$  mit  $a_j=0$  oder

$\delta (a_j)<\delta (p_j^{r_j}).$

Die Summanden $\frac{a_j}{p_j^{r_j}}$ kann man als

$\frac{c_j}{p_j^{r_j}}=b_j+\frac{c_{j,1}}{p_j}+\frac{c_{j,2}}{p_j^2}+\cdots +\frac{c_{j,r_j}}{p_j^{r_j}}$

mit

$\delta (c_{j,i})\le \delta (p_j)$

schreiben.

Beweis

Nach Satz 18.1 gibt es eine Darstellung

$\frac{f}{g}=\frac{a_1}{p_1^{r_1}}+\frac{a_2}{p_2^{r_2}}+\cdots +\frac{a_k}{p_k^{r_k}}.$

Auf die Zähler der einzelnen Summanden wenden wir die Division mit Rest durch $p_j^{r_j}$ an und erhalten

$\frac{a_j}{p_j^{r_j}}=b_j+\frac{a{\text{'}}_j}{p_j^{r_j}}$

mit

$\delta \left(a{\text{'}}_j\right)<\delta \left(p_j^{r_j}\right).$

Ferner kann man auf $a_j$ auch die Division mit Rest durch $p_j$ anwenden und erhält

$\frac{a_j}{p_j^{r_j}}=\frac{c_j{p}_j+t}{p_j^{r_j}}=\frac{c_j}{p_j^{r_j-1}}+\frac{t}{p_j^{r_j}}$

mit

$\delta (t)<\delta \left(p_j\right).$

Den vorderen Summanden kann man in dieser Weise weiter abarbeiten.

$◻$

Korollar

Es seien $f,g\in \mathbb{Z}$, $g>0$, mit der Primfaktorzerlegung

$g=p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k}.$

Dann gibt es in  $\mathbb{Q}=Q(\mathbb{Z})$  eine Darstellung

$\frac{f}{g}=n+\frac{a_1}{p_1^{r_1}}+\frac{a_2}{p_2^{r_2}}+\cdots +\frac{a_k}{p_k^{r_k}}$

mit  $n,a_1,\dots ,a_k\in \mathbb{Z}$  und mit  $|a_j|<p_j^{r_j}$.  Für die Summanden gibt es ferner eine Darstellung

$\frac{a_j}{p_j^{r_j}}=n_j+\frac{c_{j,1}}{p_j}+\frac{c_{j,2}}{p_j^2}+\cdots +\frac{c_{j,r_j}}{p_j^{r_j}}$

mit  $|c_{j,i}|<p_j$.  Dabei kann man die  $c_{j,i}\ge 0$  wählen.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 18.2.

$◻$

Beispiel

Wir berechnen die Partialbruchzerlegung von $\frac{1}{100}$. Es ist

$100=4\cdot 25=2^2\cdot 5^2.$

Wegen

$25-6\cdot 4=1$

ergibt sich

$\frac{1}{100}=\frac{1}{4}-6\frac{1}{25}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{25}.$

Wenn man nichtnegative Zähler haben möchte, so schreibt man

$\frac{1}{4}-6\frac{1}{25}=-1+\frac{1}{4}+1-6\frac{1}{25}=-1+\frac{1}{4}+\frac{25-6}{25}=-1+\frac{1}{4}+\frac{19}{25}=-1+\frac{1}{4}+\frac{3}{5}+\frac{4}{25}.$

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $f,g\in K[X]$, $g\ne 0$, mit der Zerlegung in irreduzible Polynome

$g=p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k}.$

Dann gibt es im Quotientenkörper $K(X)$ eine Darstellung

$\frac{f}{g}=h+\frac{q_1}{p_1^{r_1}}+\frac{q_2}{p_2^{r_2}}+\cdots +\frac{q_k}{p_k^{r_k}}$

mit  $h,q_1,\dots ,q_k\in K[X]$  mit  $q_j=0$  oder

$\mathrm{grad}(q_j)<\mathrm{grad}(p_j^{r_j}).$

Die Summanden $\frac{q_j}{p_j^{r_j}}$ kann man als

$\frac{q_j}{p_j^{r_j}}=h_j+\frac{c_{j,1}}{p_j}+\frac{c_{j,2}}{p_j^2}+\cdots +\frac{c_{j,r_j}}{p_j^{r_j}}$

mit

$\mathrm{grad}(c_{j,i})<\mathrm{grad}(p_j)$

schreiben.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 18.2.

$◻$

Korollar

Es seien $P,Q\in ℂ[X]$, $Q\ne 0$, Polynome und es sei

$Q=(X-a_1{)}^{r_1}\cdots (X-a_s{)}^{r_s}$

mit verschiedenen  $a_i\in ℂ$. 

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom  $H\in ℂ[X]$  und eindeutig bestimmte Koeffizienten $c_{ij}\in ℂ$, $1\le i\le s$, $1\le j\le r_i$, mit

$\frac{P}{Q}=H+\frac{c_{11}}{X-a_1}+\frac{c_{12}}{(X-a_1{)}^2}+\cdots +\frac{c_{1r_1}}{(X-a_1{)}^{r_1}}+\cdots +\frac{c_{s1}}{X-a_s}+\frac{c_{s2}}{(X-a_s{)}^2}+\cdots +\frac{c_{s{r}_s}}{(X-a_s{)}^{r_s}}.$

Beweis

Dies ergibt sich, abgesehen von der Eindeutigkeit, die wir nicht beweisen, aus Korollar 18.5 und dem Fundamentalsatz der Algebra.

$◻$

Korollar

Es seien $P,Q\in ℝ[X]$, $Q\ne 0$, Polynome und es sei

$Q=(X-a_1{)}^{r_1}\cdots (X-a_s{)}^{r_s}{Q}_1^{t_1}\cdots Q_u^{t_u}$

mit verschiedenen  $a_i\in ℝ$  und verschiedenen quadratischen Polynomen $Q_k$ ohne reelle Nullstellen.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom  $H\in ℝ[X]$  und eindeutig bestimmte Koeffizienten $c_{ij}\in ℝ$, $1\le i\le s$, $1\le j\le r_i$, und eindeutig bestimmte lineare Polynome $L_{k\ell }=d_{k\ell }X+e_{k\ell }$, $1\le k\le u$, $1\le \ell \le t_k$, mit

$\begin{array}{cc}\frac{P}{Q}& =H+\frac{c_{11}}{X-a_1}+\frac{c_{12}}{(X-a_1{)}^2}+\cdots +\frac{c_{1r_1}}{(X-a_1{)}^{r_1}}+\cdots +\frac{c_{s1}}{X-a_s}+\frac{c_{s2}}{(X-a_s{)}^2}+\cdots +\frac{c_{s{r}_s}}{(X-a_s{)}^{r_s}}\\ & +\frac{L_{11}}{Q_1}+\frac{L_{12}}{Q_1^2}+\cdots +\frac{L_{1t_1}}{Q_1^{t_1}}+\cdots +\frac{L_{u1}}{Q_u}+\frac{L_{u2}}{Q_u^2}+\cdots +\frac{L_{u{t}_u}}{Q_u^{t_u}}.\end{array}$

Beweis

Dies ergibt sich, abgesehen von der Eindeutigkeit, die wir nicht beweisen, aus Korollar 18.5 und der Tatsache, dass es in $ℝ[X]$ nur lineare und quadratische Primpolynome gibt.

$◻$

Beispiel

Wir betrachten die rationale Funktion

$\frac{1}{X^3-1}=\frac{1}{(X-1)(X^2+X+1)}.$

wobei der Faktor rechts reell nicht weiter zerlegbar ist. Daher muss es eine eindeutige Darstellung

$\frac{1}{X^3-1}=\frac{a}{X-1}+\frac{bX+c}{X^2+X+1}$

geben. Multiplikation mit dem Nennerpolynom führt auf

$\begin{array}{cc}1& =a(X^2+X+1)+(bX+c)(X-1)\\ & =(a+b)X^2+(a+c-b)X+a-c.\end{array}$

Koeffizientenvergleich führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem

$a+b=0\text{ und }a+c-b=0\text{ und }a-c=1$

mit den eindeutigen Lösungen

$a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{3},c=-\frac{2}{3}.$

Die Partialbruchzerlegung ist also

$\frac{1}{X^3-1}=\frac{\frac{1}{3}}{X-1}+\frac{-\frac{1}{3}X-\frac{2}{3}}{X^2+X+1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{X-1}-\frac{1}{3}\cdot \frac{X+2}{X^2+X+1}.$

Beispiel

Wir betrachten die rationale Funktion

$\frac{X^3-X+5}{X^4+X^2}=\frac{X^3-X+5}{X^2(X^2+1)},$

wo die Faktorzerlegung des Nennerpolynoms sofort ersichtlich ist. Der Ansatz

$\frac{X^3-X+5}{X^2(X^2+1)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X^2}+\frac{cX+d}{X^2+1}$

führt durch Multiplikation mit dem Nennerpolynom auf

$\begin{array}{cc}{X}^3-X+5& =aX(X^2+1)+b(X^2+1)+(cX+d)X^2\\ & =a{X}^3+aX+b{X}^2+b+c{X}^3+d{X}^2\\ & =(a+c)X^3+(b+d)X^2+aX+b.\end{array}$

Koeffizientenvergleich führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem

$a+c=1\text{ und }b+d=0\text{ und }a=-1\text{ und }b=5$

mit der Lösung

$b=5,a=-1,d=-5,c=2.$

Insgesamt ist die Partialbruchzerlegung also gleich

$\frac{X^3-X+5}{X^2(X^2+1)}=-\frac{1}{X}+\frac{5}{X^2}+\frac{2X-5}{X^2+1}.$

Bemerkung  

Eine wichtige Anwendung der reellen Partialbruchzerlegung ist es, zu rationalen Funktionen $P/Q$, $P,Q\in ℝ[X]$, $Q\ne 0$, eine Stammfunktion zu finden, also zu integrieren. Man berechnet hierzu die Partialbruchzerlegung von $P/Q$ und muss dann zu dem Polynom $H$ und den Summanden der Form $\frac{b}{(X-a{)}^r}$ bzw. $\frac{c+dX}{Q_i^r}$ mit einem quadratischen nullstellenfreien Polynom $Q_i$ Stammfunktionen bestimmen. Dafür gibt es dann Standardverfahren. Eine Stammfunktion zu $\frac{b}{(X-a)}$ ist $b\ln |X-a|$ und eine Stammfunktion zu $\frac{b}{(X-a{)}^r}$, $r\ge 2$, ist $\frac{b}{(1-r)(X-a{)}^{r-1}}$. Wenn ein quadratischer Nenner vorliegt, wird es schwieriger; eine Stammfunktion zu $\frac{1}{1+x^2}$ ist beispielsweise $\arctan X$.

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