Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 18

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Partialbruchzerlegung

Betrachten wir den Bruch . Diesen kann man als

schreiben, man kann also die Primfaktoren des Nenners multiplikativ trennen. Es gilt aber auch, und das ist überraschender, die Darstellung

man kann also in diesem Fall den Bruch als eine Summe von Brüchen schreiben, bei denen jeweils nur ein Primfaktor des Nenners vorkommt. In ähnlicher Weise gilt

auch hier lässt sich ein Bruch mit einem „komplizierten“ Nenner als Summe von Brüchen mit einem einfachen Nenner schreiben. Dagegen ist es nicht möglich, als Summe von zu schreiben. Wir werden gleich sehen, dass man jede rationale Zahl als eine Summe von Stammbrüchen zu Primzahlpotenzen erhalten kann. Dies beruht auf einer Gesetzmäßigkeit, die allgemeiner für Hauptidealbereiche gilt.



Satz  

Es sei ein Hauptidealbereich und , , mit der Primfaktorzerlegung

Dann gibt es im Quotientenkörper eine Darstellung

mit .

Beweis  

Wir führen Induktion über die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von . Wenn eine Einheit ist oder nur ein Primfaktor (mit einem beliebigen Exponenten) vorkommt, ist nichts zu zeigen. Sei also und die Aussage für kleinere schon bewiesen. Sei

Da und teilerfremd sind, gibt es nach Satz 8.5 eine Darstellung der Form

mit . Division durch

ergibt

Multiplikation mit liefert eine Darstellung der Form

und die Induktionsvoraussetzung angewendet auf liefert das Resultat.


Für und und überhaupt für euklidische Bereiche lässt sich diese Aussage noch präzisieren.



Satz  

Es sei ein euklidischer Bereich und , , mit der Primfaktorzerlegung

Dann gibt es im Quotientenkörper eine Darstellung

mit mit oder

Die Summanden kann man als

mit

schreiben.

Beweis  

Nach Satz 18.1 gibt es eine Darstellung

Auf die einzelnen Summanden wenden wir die Division mit Rest durch an und erhalten

mit

Ferner kann man auf auch die Division mit Rest durch anwenden und erhält

mit

Den vorderen Summanden kann man in dieser Weise weiter abarbeiten.




Korollar  

Es seien , , mit der Primfaktorzerlegung

Dann gibt es im Quotientenkörper eine Darstellung

mit und mit . Für die Summanden gibt es ferner eine Darstellung

mit . Dabei kann man die wählen.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 18.2.



Beispiel  

Wir berechnen die Partialbruchzerlegung von . Es ist

Wegen

ergibt sich

Wenn man nichtnegative Zähler haben möchte, so schreibt man




Korollar  

Es sei ein Körper und , , mit der Zerlegung in irreduzible Polynome

Dann gibt es im Quotientenkörper eine Darstellung

mit mit oder

Die Summanden kann man als

mit

schreiben.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 18.2.




Korollar  

Es seien , , Polynome und es sei

mit verschiedenen .

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom und eindeutig bestimmte Koeffizienten , , , mit

Beweis  

Dies ergibt sich, abgesehen von der Eindeutigkeit, die wir nicht beweisen, aus Korollar 18.5 und dem Fundamentalsatz der Algebra.




Korollar  

Es seien , , Polynome und es sei

mit verschiedenen und verschiedenen quadratischen Polynomen ohne reelle Nullstellen.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom und eindeutig bestimmte Koeffizienten , , , und eindeutig bestimmte lineare Polynome , , , mit

Beweis  

Dies ergibt sich, abgesehen von der Eindeutigkeit, die wir nicht beweisen, aus Korollar 18.5 und der Tatsache, dass es in nur lineare und quadratische Primpolynome gibt.



Beispiel  

Wir betrachten die rationale Funktion

wobei der Faktor rechts reell nicht weiter zerlegbar ist. Daher muss es eine eindeutige Darstellung

geben. Multiplikation mit dem Nennerpolynom führt auf

Koeffizientenvergleich führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem

mit den eindeutigen Lösungen

Die Partialbruchzerlegung ist also



Beispiel  

Wir betrachten die rationale Funktion

wo die Faktorzerlegung des Nennerpolynoms sofort ersichtlich ist. Der Ansatz

führt durch Multiplikation mit dem Nennerpolynom auf

Koeffizientenvergleich führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem

mit der Lösung

Insgesamt ist die Partialbruchzerlegung also gleich


Bemerkung  

Eine wichtige Anwendung der reellen Partialbruchzerlegung ist es, zu rationalen Funktionen , , , eine Stammfunktion zu finden, also zu integrieren. Man berechnet hierzu die Partialbruchzerlegung von und muss dann zu dem Polynom und den Summanden der Form bzw. mit einem quadratischen nullstellenfreien Polynom Stammfunktionen bestimmen. Dafür gibt es dann Standardverfahren. Eine Stammfunktion zu ist und eine Stammfunktion zu , , ist . Wenn ein quadratischer Nenner vorliegt, wird es schwieriger; eine Stammfunktion zu ist beispielsweise .



<< | Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)