Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 27/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Zeige, dass ${}K\subset L$ eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}M$ die Menge der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$. Zeige, dass ${}M$ eine Untergruppe der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}K=\mathbb {Z} /(p)$. Zeige, dass es in ${}K$ ${}p-1$ verschiedene ${}(p-1)$-te Einheitswurzeln gibt.

Finde für ${}p=2,3,5,7,11,13,17,19$ primitive ${}(p-1)$-te Einheitswurzeln in ${}K$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}b_{1},b_{2}\in K$ zwei Lösungen der Gleichung ${}X^{n}=a$ sind und ${}b_{2}\neq 0$, so ist ihr Quotient ${}b_{1}/b_{2}$ eine ${}n$-te Einheitswurzel.
2. Wenn ${}b\in K$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$ und ${}\zeta$ eine ${}n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch ${}\zeta b$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das sechste Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{6}$ und beschreibe die Primfaktorzerlegung von ${}X^{6}-1$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Finde die Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{p}-1}}$

in ${}\mathbb {Q} (X)$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige folgende Aussagen.

1. Die dritten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ sind ${}1,\,\epsilon =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }$ und ${}\eta =-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\mathrm {i} }$.
2. Es ist ${}\epsilon ^{2}=\eta$ und ${}\eta ^{2}=\epsilon$.
3. Es ist ${}1+\epsilon +\epsilon ^{2}=0$.
4. Es ist ${}\epsilon +\epsilon ^{2}=-1$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ und die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ isomorph sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}j\in \mathbb {Z}$. Zeige

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }jk}{n}}={\begin{cases}n,{\text{ falls }}j{\text{ ein Vielfaches von }}n{\text{ ist}},\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}\mu _{n}\subseteq {\mathbb {C} }$ die Menge der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom. Zeige, dass ${}F\in {\mathbb {C} }[X^{n}]$ (d.h., dass ${}F$ als Polynom in ${}X^{n}$ geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes ${}z\in \mu _{n}$ die Gleichheit

${}F(zX)=F(X)\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ ungerade. Zeige, dass der ${}n$-te Kreisteilungskörper mit dem ${}2n$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 27.15 ändern

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(23)$.