Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei eine
Gruppe.
Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen
die beiden Gleichungen
eindeutige Lösungen
.
Es sei eine endliche
Gruppe.
Dann besitzt jedes Element
eine endliche
Ordnung.
Die Potenzen
sind alle verschieden.
Die Binomialkoeffizienten
erfüllen die rekursive Beziehung
Es sei ein
kommutativer Ring und
. Ferner sei
eine natürliche Zahl.
Dann gilt
Es sei ein
kommutativer Ring und sei
ein
Nichtnullteiler.
Dann folgt aus einer Gleichung
dass
sein muss.
Die komplexen Zahlen
bilden einen Körper.
Es sei ein
Körper
und es seien
verschiedene Elemente
und
Elemente
gegeben.
Dann gibt es ein eindeutiges Polynom
vom Grad
derart, dass
für alle
ist.
Jedes nichtkonstante
Polynom
über den
komplexen Zahlen
besitzt eine Nullstelle.
In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
Es sei ein Körper und sei
der Polynomring über
. Dann ist ein Polynom vom
Grad
zwei oder drei genau dann
irreduzibel,
wenn es keine Nullstelle in besitzt.
Es sei ein
kommutativer Ring.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
-
ist ein Körper.
- Es gibt in
genau zwei Ideale.
Es sei ein
kommutativer Ring
und
ein
maximales Ideal
in
.
Dann ist ein
Primideal.
Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.
Ein Polynomring über einem Körper
ist ein Hauptidealbereich.
Es sei ein
Hauptidealring.
Dann gilt:
Elemente besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler
, und dieser lässt sich als Linearkombination der
darstellen, d.h. es gibt Elemente
mit
.
Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente eine Darstellung der
.
Es sei ein
Hauptidealbereich
und
.
Es seien
und
teilerfremd
und
teile das Produkt
. Dann teilt
den Faktor
.
Es sei ein
Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann
prim,
wenn es irreduzibel ist.
Es seien zwei Elemente eines
euklidischen Bereiches
mit euklidischer Funktion
gegeben. Dann besitzt die Folge
,
, der
euklidischen Reste
folgende Eigenschaften.
- Es ist
.
- Es gibt ein
(minimales)
mit
.
- Es ist
-
- Es sei
der erste Index derart, dass
ist. Dann ist
-
Es sei ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
-
ist faktoriell.
- Jede Nichteinheit
besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
- Jede Nichteinheit
besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.
Es sei ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
-
ist faktoriell.
- Jede Nichteinheit
besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
- Jede Nichteinheit
besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.
Es sei ein Körper und sei
der Polynomring über
.
Dann besitzt jedes Polynom
,
,
eine eindeutige Faktorzerlegung
wobei
ist und die
verschiedene,
normierte,
irreduzible
Polynome sind.
Jede natürliche Zahl
,
,
besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
D.h. es gibt eine Darstellung
mit
Primzahlen
, und dabei sind die Primfaktoren bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Es sei ein
faktorieller Integritätsbereich
und
.
Dann ist ein
Teiler
von
genau dann, wenn für die
Exponenten
zu jedem
Primelement
die Abschätzung
gelten.
Es sei ein
faktorieller Bereich
und
Elemente mit Primfaktorzerlegungen
Dann ist
und
Es seien
und
Gruppen
und
sei ein
Gruppenhomomorphismus.
Dann ist
und
für jedes
.
Es sei eine
Gruppe.
Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente
und
Gruppenhomomorphismen
von
nach
über die Korrespondenz
Seien
und
Gruppen
und sei
ein Gruppenisomorphismus.
Dann ist auch die Umkehrabbildung
ein Gruppenisomorphismus.
Es seien
und
Gruppen.
Ein
Gruppenhomomorphismus
ist genau dann
injektiv,
wenn der
Kern
von
trivial ist.
Es sei eine endliche
Gruppe und
eine
Untergruppe
von
.
Dann ist ihre Kardinalität ein Teiler von
.
Es sei eine endliche
Gruppe
und sei
ein Element.
Dann teilt die
Ordnung von
die
Gruppenordnung.
Es sei eine
Gruppe
und
ein
Normalteiler. Es sei
die Menge der
Nebenklassen
(die Quotientenmenge)
und
die kanonische Projektion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Es seien
und
Gruppen,
es sei
ein
Gruppenhomomorphismus
und
ein
surjektiver
Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
derart, dass
ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es seien
und
Gruppen
und sei
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
Es seien
und
Gruppen
und sei
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die
kanonische Projektion,
ein
Gruppenisomorphismus
und
die kanonische Inklusion der
Bildgruppe
ist.
Es sei ein Integritätsbereich.
Dann ist die
Charakteristik von null oder eine Primzahl.
Es sei ein
kommutativer Ring
und sei
der
Polynomring
über
. Es sei
ein weiterer
kommutativer Ring
und es sei
ein
Ringhomomorphismus
und
ein Element.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit
und mit
,
wobei
die kanonische Einbettung ist.
Dabei geht das Polynom
auf
.
Es seien und
kommutative Ringe
und sei
ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern
ein
Ideal
in .
Sei
eine natürliche Zahl.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf derart, dass die
Restklassenabbildung
ein Ringhomomorphismus ist.
ist ein kommutativer Ring mit
Elementen
(bei
).
Es seien
und
kommutative Ringe,
es sei
ein
Ringhomomorphismus
und
ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
derart, dass
ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es seien
und
kommutative Ringe
und es sei
ein surjektiver Ringhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen
Es seien
und
kommutative Ringe
und es sei
ein Ringhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die
kanonische Projektion,
ein
Ringisomorphismus
und
die kanonische Inklusion des
Bildes
ist.
Es sei ein
kommutativer Ring
und
ein
Ideal
in
mit dem
Restklassenring
. Es sei
ein weiteres Ideal in
, das
umfasst.
Dann ist das
Bild
von
in
ein Ideal und es gilt die kanonische
Isomorphie
Seien
und
positive natürliche Zahlen, und
teile
.
Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus
Es sei ein
kommutativer Ring
und
ein
Ideal
in
.
Dann ist ein Element genau dann eine
Einheit
modulo
, wenn
und
zusammen das
Einheitsideal
in
erzeugen.
Es sei ein
Hauptidealbereich
und
ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
ist ein Primelement.
ist ein Integritätsbereich.
ist ein Körper.
Es sei eine natürliche Zahl und
der zugehörige
Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist ein Körper.
ist ein Integritätsbereich.
ist eine Primzahl.
Für eine
Primzahl
und eine beliebige ganze Zahl
gilt
Anders ausgedrückt: ist durch
teilbar.
Es sei ein
Hauptidealbereich und
,
, ein Element mit kanonischer
Primfaktorzerlegung
Dann gilt für den
Restklassenring
die kanonische
Isomorphie
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
(die seien also verschieden und
).
Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen
einen
Ringisomorphismus
Zu gegebenen ganzen Zahlen gibt es also genau eine natürliche Zahl
,
die die simultanen Kongruenzen
löst.
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
(die
seien also verschieden und
).
Dann gibt es einen kanonischen Gruppenisomorphismus
Insbesondere ist eine Zahl genau dann eine Einheit modulo
, wenn sie eine Einheit modulo
ist für
.
Genau dann ist
eine
Einheit
modulo
(d.h.
repräsentiert eine Einheit in
),
wenn
und
teilerfremd
sind.
Es sei eine natürliche Zahl.
Dann gilt für jede zu teilerfremde Zahl
die Beziehung
Es sei eine
Primzahl
und
eine Potenz davon.
Dann ist
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
(die seien also verschieden und
).
Dann ist
Es sei ein
Integritätsbereich
mit
Quotientenkörper
. Es sei
ein
injektiver
Ringhomomorphismus
in einen
Körper
.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit
wobei die kanonische Einbettung
bezeichnet.
Sei ein
faktorieller Bereich mit
Quotientenkörper
.
Dann besitzt jedes Element
,
,
eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
mit einer
Einheit
und ganzzahligen Exponenten
.
Es sei ein Körper und sei
der Polynomring über
. Es sei
ein Polynom vom
Grad
und
der zugehörige
Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln
(wir bezeichnen die Restklasse von
in
mit
).
- Man kann stets
als normiert annehmen (also
; das werden wir im Folgenden tun).
- In
ist
.
- Höhere Potenzen
,
, kann man mit den Potenzen
,
, ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
- Die Potenzen
bilden eine
-Basis von
.
ist ein
-Vektorraum der Dimension
.
- In
werden zwei Elemente
und
komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.
Es sei ein
Körper,
eine
-
Algebra
und
ein Element. Es sei
das
Minimalpolynom
von
über
.
Dann ist der
Kern
des
kanonischen
-
Algebrahomomorphismus
das von erzeugte
Hauptideal.
Es sei
eine
Körpererweiterung
und sei
ein
algebraisches
Element. Es sei
das
Minimalpolynom
von
.
Dann gibt es eine kanonische
-
Algebraisomorphie
Es sei
eine
Körpererweiterung
und sei
ein
algebraisches
Element. Dann gelten folgende Aussagen.
- Das
Minimalpolynom
von
über
ist irreduzibel.
- Wenn
ein normiertes, irreduzibles Polynom mit
ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
Es sei
eine
Körpererweiterung
und sei
ein
algebraisches
Element. Es sei
das
Minimalpolynom
von
.
Dann gibt es eine kanonische
-
Algebraisomorphie
Es sei
eine
Körpererweiterung
und sei
ein
algebraisches
Element. Dann gelten folgende Aussagen.
- Das
Minimalpolynom
von
über
ist irreduzibel.
- Wenn
ein normiertes, irreduzibles Polynom mit
ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
Es sei
eine
Körpererweiterung
und sei
ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist algebraisch über
.
- Es gibt ein
normiertes Polynom
mit
.
- Es besteht eine
lineare Abhängigkeit
zwischen den Potenzen
-
- Die von
über
erzeugte
-Algebra
hat endliche
-Dimension.
liegt in einer endlichdimensionalen
-Algebra
.
Es sei
eine
Körpererweiterung
und sei
ein
algebraisches
Element.
Dann ist die von erzeugte
-Algebra
ein
Körper.
Es sei
eine Körpererweiterung und sei
der
algebraische Abschluss von
in
.
Dann ist ein
Unterkörper von
.
Es sei ein
Körper
mit einer
Charakteristik
und es sei
eine
quadratische Körpererweiterung.
Dann gibt es ein
,
und
.
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung
der reellen Zahlen.
Dann ist
isomorph
zu
oder zu
.
Es seien
und
endliche Körpererweiterungen.
Dann ist auch
eine endliche Körpererweiterung und es gilt
Es sei ein
Körper und sei
ein Polynom. Es seien
und
zwei
Zerfällungskörper
von
.
Dann gibt es einen
-
Algebraisomorphismus
Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.
In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.
- Zu einer Geraden
und zwei Punkten
kann man die zu
senkrechte Gerade zeichnen, die die Strecke zwischen
und
halbiert.
- Zu einer Geraden
und einem Punkt
kann man die zu
senkrechte Gerade durch
zeichnen.
- Zu einer Geraden
und einem Punkt
kann man die zu
senkrechte Gerade durch
zeichnen.
- Zu einer gegebenen Geraden
und einem gegebenen Punkt
kann man die Gerade
durch
zeichnen, die zu
parallel ist.
Die Menge der
konstruierbaren Zahlen ist ein
Unterkörper von .
Es sei eine mit zwei Punkten
und
markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei
eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel
aus
mittels Zirkel und Lineal
konstruierbar.
Es sei eine komplexe Zahl. Dann ist
eine
konstruierbare Zahl
genau dann,
wenn es eine Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen
derart ist, dass die Koordinaten von zu
gehören.
Eine mit Zirkel und Lineal konstruierbare Zahl
ist algebraisch.
Es sei
eine
konstruierbare Zahl.
Dann ist der
Grad des
Minimalpolynoms von eine Potenz von zwei.
Es sei eine natürliche Zahl derart, dass das regelmäßige
-Eck
konstruierbar
ist.
Dann ist eine Zweierpotenz.
Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.
Ein reguläres -Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von
die Gestalt
hat, wobei die verschiedene
Fermatsche Primzahlen
sind.