Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 8

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Aufgaben

Aufgabe

Es seien vollständige Gitter. Zeige, dass es eine -lineare Abbildung

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

induziert.


Aufgabe

Es seien rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es eine -lineare Abbildung

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

induziert.


Aufgabe

Es seien rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es ein rationales Gitter mit gibt.


Aufgabe

Alle Springmäuse leben in und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung und den Sprung . Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

Welche Springmäuse können sich begegnen?


Aufgabe

Es sei ein Gitter in mit und

Zeige, dass das Standardgitter ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Untergruppe

dicht ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis

isomorph zu ist.


Aufgabe

Charakterisiere die Restklassengruppe eines Gitters .


Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen , , , , , , die allgemeine lineare Gruppe bzw. Lie-Gruppen sind.


Aufgabe

Betrachte die Kreislinie . Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf , also ein neutrales Element , eine differenzierbare Abbildung

und eine differenzierbare Abbildung

derart, dass mit diesen Daten zu einer kommutativen Gruppe wird.


Aufgabe

Betrachte die allgemeine lineare Gruppe als offene Untermannigfaltigkeit des . Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf , also ein neutrales Element , eine differenzierbare Abbildung

und eine differenzierbare Abbildung

derart, dass mit diesen Daten zu einer Gruppe wird.


Aufgabe

Zeige, dass das Tangentialbündel auf einer Lie-Gruppe trivial ist.

Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.


Aufgabe

Beschreibe den Torus als Rotationsmenge im .


Aufgabe *

Sei und betrachte die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung und die Gestalt der Faser über . Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von zu .


Aufgabe

Definiere die Abbildung

die zu einem Winkelpaar die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung differenzierbar? Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?


Aufgabe

Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre und der Torus nicht homöomorph sind.


Aufgabe

Zu welcher differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist , also der Torus ohne die Diagonale, diffeomorph?


Aufgabe *

Es sei ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

in jedem Punkt surjektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass es auf einem Torus bijektive stetig differenzierbare Abbildungen ohne Fixpunkt gibt.


Aufgabe

Es sei ein Torus. Zeige, dass die Vorgabe einer Basis der Fundamentalgruppe von im Wesentlichen äquivalent zur Angabe einer Homöomorphie ist.


Aufgabe *

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume und sei ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass dann eine -lineare Abbildung ist.


Eine kommutative Gruppe heißt divisibel, wenn es zu jedem und jedem ein mit gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen und divisibel sind. Ist auch divisibel?


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass die additive Gruppe genau dann divisibel ist, wenn die Charakteristik von gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Gruppe nicht divisibel ist.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe divisibel ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Kreisgruppe divisibel ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein komplexer Torus als kommutative Gruppe divisibel ist.

Zur vorstehenden Aufgabe siehe auch Aufgabe 14.4.


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