Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 18/latex

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\setcounter{section}{18}






\zwischenueberschrift{Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve}

Zu einem \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die zugehörige elliptische Kurve
\mathl{{\mathbb C}/\Gamma}{} eine Gruppe, die als \definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{} isomorph zu
\mathl{S^1 \times S^1}{.} Auf dieser Ebene sind also alle elliptischen Kurven über ${\mathbb C}$ untereinander gleich. Die Gruppenstruktur kann man insbesondere dadurch verstehen, dass man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1 }
{ =} { \R/\Z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} versteht. Eine reelle Zahl $r$ definiert in $S^1$ genau dann das Nullelement, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Eine reelle Zahl $r$ definiert in $S^1$ genau dann ein Torsionselement, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ = }{ { \frac{ m }{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine gekürzte Darstellung ist, dann ist $n$ die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von
\mathl{[r]}{} in $S^1$. Wenn die Darstellung nicht notwendigerweise gekürzt ist, so ist $n$ ein Vielfaches der Ordnung. Insbesondere sind zu gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die verschiedenen Elemente
\mathl{[{ \frac{ 0 }{ n } }], [{ \frac{ 1 }{ n } }], [{ \frac{ 2 }{ n } }] , \ldots , [{ \frac{ n-1 }{ n } }]}{} diejenigen Elemente, deren Ordnung ein Vielfaches von $n$ ist. Diese bilden eine Untergruppe der Kreisgruppe, die aus $n$ Elementen besteht, und isomorph zur \definitionsverweis {zyklischen Gruppe}{}{} $\Z/(n)$ ist.





\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Gitter/Torsionsuntergruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Tor}_{ n } { \left( {\mathbb C}/\Gamma \right) }}{} zur Ordnung $n$ des \definitionsverweis {komplexen Torus}{}{} ${\mathbb C}/\Gamma$ isomorph zu
\mathl{\Z/(n) \times \Z/(n)}{} und besteht aus $n^2$ Elementen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} /\Gamma }
{ \cong }{ S^1 \times S^1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}


Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ = }{ \langle w_1,w_2 \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man die Torsionsuntergruppe
\mathl{\operatorname{Tor}_{ n } { \left( {\mathbb C}/\Gamma \right) }}{} explizit als
\mathbed {[{ \frac{ i }{ n } } w_1 + { \frac{ j }{ n } } w_2 ]} {}
{0 \leq i,j \leq n-1} {}
{} {} {} {,} angeben.

Wenn eine elliptische Kurve über einem beliebigen Körper $K$ definiert ist, so ist die Menge der $K$-Punkte eine kommutative Gruppe. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Erweiterungskörper ist, so ist auch die Menge der $L$-Punkte der Kurve eine kommutative Gruppe, die typischerweise aus mehr Elementen besteht, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E(K) }
{ \subseteq} {E(L) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es gibt im Allgemeinen auch mehr Torsionselement über $L$ als über $K$.





\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ mit der affinen Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2 }
{ = }{ h(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem kubischen Polynom $h(x)$ ohne mehrfache Nullstelle.}
\faktfolgerung {Dann sind die Punkte der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $2$ die Punkte
\mathl{(a,0,1)}{,} wobei $a$ die Nullstellen von $h$ durchläuft. Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( \operatorname{Tor}_{ 2 } { \left( E (K) \right) } \right) } }
{ \leq} { 4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei $K$ \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Tor}_{ 2 } { \left( E (K) \right) } }
{ \cong }{ \Z/(2) \times \Z/(2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P+P }
{ =} { {\mathfrak O } }
{ =} { (0,1,0) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bedeutet, dass die Tangente durch $P$ durch ${\mathfrak O }$ verläuft. Die Geraden durch ${\mathfrak O }$ sind neben der unendlich fernen Geraden durch die affinen Gleichungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Die \zusatzklammer {Richtung der} {} {} Tangente zu
\mathl{(a,b)}{} ist nach Bemerkung 2.4 als Kern von
\mathl{\left( h'(a) , \, 2b \right)}{} gegeben, also durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h'(a) X -2bY }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Übereinstimmung gibt es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was wegen der Kurvengleichung erfordert, dass $a$ eine Nullstelle von $h$ ist.

}






\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Torsionsuntergruppen/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$.}
\faktvoraussetzung {Es sei $n$ teilerfremd zur \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} von $K$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppen}{}{} zur Ordnung $n$ die \definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\operatorname{Tor}_{ n } { \left( E (K) \right) } }
{ \cong} { \Z/(n) \times \Z/(n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( \operatorname{Tor}_{ n } { \left( E (K) \right) } \right) } }
{ \leq} {n^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}

}
{

Die Abbildung \maabbeledisp {[n]} {E} {E } {P} {nP } {,} ist eine Isogenie und besitzt nach Satz 14.2 den Grad $n^2$. Daher besteht ihr Kern als eine Faser maximal aus $n^2$ Elementen. Unter der numerischen Bedingung ist die Isogenie nach Korollar 16.10 separabel und daher besteht ihr Kern nach Korollar 15.11 aus $n^2$ Elementen. Da der Kern eine kommutative $n$-Torsionsgruppe ist, muss es sich nach Aufgabe 18.6 um
\mathl{\Z/(n) \times \Z/(n)}{} handeln.

}






\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Körper/Torsionsuntergruppen/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppen}{}{} zur Ordnung $n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( \operatorname{Tor}_{ n } { \left( E (K) \right) } \right) } }
{ \leq} {n^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Satz 18.3, indem man die elliptische Kurve über ${ \overline{ K } }$ betrachtet.

}


Wenn $E$ über einem Körper $K$ definiert, so muss man zwischen den über $K$ und den über ${ \overline{ K } }$ definierten Torsionspunkten unterscheiden. Wir bezeichnen die in einem algebraischen Abschluss von $K$ gewonnenen $n$-Torsionspunkte mit $E[n]$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E[n] }
{ =} { \operatorname{Tor}_{ n } { \left( E ({ \overline{ K } }) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}




\inputbeispiel{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Elliptic_curve_y^2_%3D_x^3_-_x.eps} }
\end{center}
\bildtext {Das reelle Bild der Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2 }
{ = }{ x^3 - x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}} }

\bildlizenz { Elliptic_curve_y^2_%3D_x^3_-_x.svg } {} {YassineMrabet} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^2 }
{ = }{x^3-x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen \definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{} gibt es über $\Q$ nur die vier Punkte
\mathl{(0,0),\, (1,0), \, (-1,0),\, {\mathfrak O }}{,} die \definitionsverweis {Torsionspunkte}{}{} sind. Wenn man die Gleichung über dem Erweiterungskörper $\Q[ { \mathrm i} ]$ betrachtet, erhält man neue Punkte. So ist
\mathl{({ \mathrm i} , -1 + { \mathrm i} )}{} ein weiterer Punkt, es ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( -1 +{ \mathrm i} \right) }^2 }
{ =} { -2 { \mathrm i} }
{ =} { { \mathrm i}^3 - { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Ferner ergibt sich der Punkt
\mathl{( - { \mathrm i} , 1+ { \mathrm i} )}{,} und zwei weitere Punkte, da man $y$ durch $-y$ ersetzen kann.


}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Dann nennt man den \definitionsverweis {Rang}{}{} der kommutativen Gruppe $E(K)$ den \definitionswort {Rang}{} von $E$.

}




\inputbeispiel{}
{

Auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ = }{ x^3-2x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen \definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{} gibt es über $\Q$ die beiden \definitionsverweis {Torsionspunkte}{}{}
\mathl{(0,0) ,\, {\mathfrak O }}{.} Daneben gibt es noch den Punkt
\mathl{(-1,1)}{,} dieser ist kein Torsionspunkt.


}

Die beiden folgenden elliptische Kurven über $\Q$ besitzen eine vergleichsweise große Torsionsgruppe.


\inputbeispiel{}
{

Auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ = }{ x^3+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen \definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{} gibt es über $\Q$ die sechs \definitionsverweis {Torsionspunkte}{}{}
\mathl{{\mathfrak O } ,\,(-1,0) ,\,(0,1) ,\, (0,-1) ,\,(2,3) ,\, (2,-3)}{.} Dabei hat
\mathl{(-1,0)}{} nach Lemma 18.2 die Ordnung $2$ und es gibt \zusatzklammer {über $\Q$ und über $\R$} {} {} keinen weiteren Punkt mit Ordnung $2$. In Aufgabe 6.3 haben wir gesehen, dass \mathkor {} {(0,1)} {und} {(0,-1)} {} zueinander negative Elemente der Ordnung $3$ sind. In Beispiel 6.6 haben wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(0,1) + (2,3) }
{ = }{ (-1,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} berechnet. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2,3) }
{ =} { (-1,0) - (0,1) }
{ =} { (-1,0) + (0,1) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher besitzen \mathkor {} {(2,3)} {und} {(2,-3)} {} die Ordnung $6$.


}




\inputbeispiel{}
{

Auf der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ = }{ x^3+4x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen \definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{} gibt es über $\Q$ die vier \definitionsverweis {Torsionspunkte}{}{}
\mathl{{\mathfrak O } ,\,(0,0) ,\, (2,4) ,\, (2,-4)}{.} Dabei besitzt
\mathl{(0,0)}{} nach Lemma 18.2 die Ordnung $2$ und sonst über $\Q$ \zusatzklammer {und $\R$} {} {} keinen weiteren Punkt der Ordnung $2$. Die Punkte \mathkor {} {(2,4)} {und} {(2,-4)} {} haben nach Aufgabe 6.5 die Ordung $4$.


}






\zwischenueberschrift{Der Tate-Modul}

Da man bei einer elliptischen Kurve $E$ zwischen den $m$-Torsionspunkten von $E(K)$ und denen von $E( { \overline{ K } } )$ unterscheiden muss, setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E[m] }
{ =} { \operatorname{Tor}_{ m } { \left( E({ \overline{ K } }) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Da wir die folgende Konstruktion insbesondere auf $E({ \overline{ K } })$, setzen wir für eine kommutative Gruppe $G$ bereits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G[m] }
{ =} { \operatorname{Tor}_{ m } { \left( G \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $\ell$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppen}{}{} $G[ \ell^n]$ zur Ordnung $\ell^n$ stehen zueinander in der Beziehung \maabbeledisp {} { G[ \ell^{n+1}] } { G[ \ell^{n}] } { g} { \ell g } {,} da ja aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell^{n+1} g }
{ =} { \ell^n ( \ell g) }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} folgt, dass ein Element der Ordnung $\ell^{n+1}$ unter Multiplikation mit $\ell$ auf ein Element der Ordnung $\ell^n$ abgebildet wird. Es liegt somit ein gerichtetes System
\mathdisp {G[ \ell^{n+1}] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^n] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^{n-1}] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} \ldots \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^2] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^{1}] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^{0}] = \{0\}} { }
vor. Über dieses System kann man den \definitionsverweis {projektiven Limes}{}{} bilden. Er besteht aus Folgen
\mathl{{ \left( g_n \right) }_{n \in \N }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_n }
{ \in }{ G[ \ell^{n}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell g_{n+1} }
{ = }{ g_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Diese Konstruktion ergibt eigentlich nur dann Sinn, wenn es zu jedem $\ell^n$ auch Torsionselemente gibt.


\inputdefinition
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $\ell$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Unter dem $\ell$-adischen \definitionswort {Tate-Modul}{} von $G$ versteht man die Gruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_\ell (G) }
{ =} { \varprojlim_{n \in \N} G[ \ell^n ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mathl{G[ \ell^n ]}{} die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{} der Ordnung $\ell^n$ bezeichnet.

}





\inputfaktbeweis
{Kommutative Gruppe/Homomorphismus/Primzahl/Tate-Modul/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {kommutative Gruppen}{}{} und sei $\ell$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {G} {H } {} induziert einen Homomorphismus \maabbdisp {\varphi_\ell} { T_\ell(G)} { T_\ell(H) } {} der zugehörigen $\ell$-adischen \definitionsverweis {Tate-Moduln}{}{.} }{Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ } { \left( G , H \right) } } { \operatorname{Hom}_{ } { \left( T_\ell(G) , T_\ell(H) \right) } } { \varphi} { \varphi_\ell } {,} vor. }{Die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{End}_{ } { \left( G \right) } } { \operatorname{End}_{ } { \left( T_\ell(G) \right) } } { \varphi} { \varphi_\ell } {,} ist ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} des \definitionsverweis {Endomorphismenringes}{}{} von $G$ in den Endomorphismenring des Tate-Moduls. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt ein Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {G[ \ell^n] } {H[ \ell^n] } {} vor. Dabei liegt ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} G[ \ell^{ n+1}] & \stackrel{ \cdot \ell }{\longrightarrow} & G[ \ell^n] & \\ \!\!\!\!\! \varphi \downarrow & & \downarrow \varphi \!\!\!\!\! & \\ H[ \ell^{ n+1}] & \stackrel{ \ell }{\longrightarrow} & H[ \ell^n] & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor. Daher setzen sich die Gruppenhomomorphismen zu einem Homomorphismus zwischen den projektiven Limiten zusammen.

}


Nach Aufgabe 18.22 ist der Tate-Modul ein Modul über der Komplettierung $\hat{ \Z}_\ell$ von $\Z_{(\ell)}$ und der Homomorphismus aus Lemma 18.11  (1) ist ein $\hat{ \Z}_\ell$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}

Für eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ betrachten wir stets den Tate-Modul zur elliptischen Kurve über dem algebraischen Abschluss von $K$.


\inputdefinition
{}
{

Zu einer \definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $\ell$ versteht man unter dem $\ell$-adischen \definitionswort {Tate-Modul}{} den \definitionsverweis {projektiven Limes}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_\ell (E) }
{ =} { \varprojlim_{n \in \N} E[ \ell^n ] }
{ =} {\varprojlim_{n \in \N} \operatorname{Tor}_{ \ell^n } { \left( E({ \overline{ K } } ) \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}

Man bezeichnet hier die Primzahl mit $\ell$, da sie zumeist verschieden von der Charakteristik des Körpers gewählt wird. Wenn $\ell$ nicht die Charakteristik ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E[ \ell^n] }
{ \cong} { \Z/(\ell^n) \times \Z/(\ell^n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nach Satz 18.3. Unter den natürlichen Abbildungen \maabbdisp {\ell} { E[ \ell^{n+1}] \cong \Z/(\ell^{n+1}) \times \Z/(\ell^{n+1} )} {E[ \ell^n] \cong \Z/(\ell^n) \times \Z/(\ell^n) } {} wird ein Erzeugerpaar auf ein Erzeugerpaar abgebildet. Man kann also die gerichtete Familie identifizieren mit der zweifach genommenen Restklassenfamilie
\mathdisp {\longrightarrow \Z/(\ell^3) \longrightarrow \Z/(\ell^2) \longrightarrow \Z/(\ell) \longrightarrow 0} { , }
wobei die Homomorphismen in der Restklassenfamilie einfach die Restklassenringhomomorphismen sind. Der zugehörige projektive Limes ist nach Definition die $\ell$-adische \definitionsverweis {Komplettierung}{}{} des \definitionsverweis {lokalen Ringes}{}{} $\Z_{ (\ell)}$ am \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{} $(\ell)$. Diese wird mit $\hat{ \Z}_\ell$ bezeichnet. Daher gibt es eine nichtkanonische Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_\ell(E) }
{ \cong} { \hat{ \Z}_\ell \times \hat{ \Z}_\ell }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im Fall eines \definitionsverweis {komplexen Torus}{}{} ${\mathbb C}/\Gamma$ zu einem \definitionsverweis {komplexen Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es aber eine kanonische Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_\ell(E) }
{ \cong} { \varprojlim_{n \in \N} \Gamma/ \ell^n \Gamma }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also zur Vervollständigung des Gitters bezüglich der Untergruppen
\mathbed {\ell^n \Gamma} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} siehe Aufgabe 18.12 und Aufgabe 18.25. Da das Gitter aufgrund von Satz 8.11 die Fundamentalgruppe und die erste Homologiegruppe des Torus ist, sollte man die Tate-Moduln als \zusatzklammer {$\ell$-adische} {} {} Versionen der ersten Homologie der elliptischen Kurve ansehen.





\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurven/Isogenie/Tate-Modul/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {} \definitionsverweis {elliptische Kurven}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und sei $\ell$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Eine \definitionsverweis {Isogenie}{}{} \maabbdisp {\varphi} {E_1} {E_2 } {} definiert einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi_\ell} { T_\ell(E_1)} { T_\ell(E_2) } {.} }{Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( E_1 , E_2 \right) } } { \operatorname{Hom}_{ } { \left( T_\ell(E_1) , T_\ell(E_2) \right) } } { \varphi} { \varphi_\ell } {,} vor. }{Die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{End}_{ K } { \left( E \right) } } { \operatorname{End}_{ } { \left( T_\ell(E) \right) } } { \varphi} { \varphi_\ell } {,} ist ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} des \definitionsverweis {Endomorphismenringes}{}{} einer elliptischen Kurve in den Endomorphismenring des Tate-Moduls. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Lemma 18.11.

}

Die Multiplikation mit $m$ auf der elliptischen Kurve $E$ definiert die Multiplikation mit $m$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E[\ell^n] }
{ \cong} { \Z/(\ell^n) \times \Z/(\ell^n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenn $m$ ein Vielfaches von $\ell^n$ ist, so handelt es sich um die Nullabbildung. Für $n$ hinreichend groß ist dies aber ausgeschlossen und somit induziert die Multiplikation auf dem Tate-Modul $T_\ell (E)$ die Multiplikation mit $m$. Deren Determinante ist $m^2$ und stimmt mit dem Grad der Multiplikation überein. Dieser Sachverhalt gilt für sämtliche Isogenien, was wir ohne Beweis mitteilen. Für den Fall einer elliptischen Kurve über ${\mathbb C}$ siehe Aufgabe 18.28.


\inputfakt{Elliptische Kurve/Isogenie/Tate-Modul/Determinante/Fakt}{Satz}{} {

\faktsituation {Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, es sei \maabbdisp {\varphi} {E} {E } {} eine \definitionsverweis {Isogenie}{}{} und es sei $\ell$ eine von der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} von $K$ verschiedene \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi_\ell} {T_\ell(E)} {T_\ell(E) } {} die induzierte $\Z_\ell$-lineare Abbildung auf dem $\ell$-adischen \definitionsverweis {Tate-Modul}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten die folgenden Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( \varphi_\ell \right) }
{ =} { \operatorname{Grad} \, ( \varphi) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( \varphi_\ell \right) } }
{ =} { 1 + \operatorname{Grad} \, ( \varphi) - \operatorname{Grad} \, ( \operatorname{Id}_{ E } - \varphi) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} von $\varphi_\ell$ ist
\mathdisp {T^2 -(1 + \operatorname{Grad} \, ( \varphi) - \operatorname{Grad} \, ( \operatorname{Id}_{ E } - \varphi))T + \operatorname{Grad} \, ( \varphi)} { . }
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}

Es ist zu betonen, dass die Daten der linearen Algebra unabhängig von $\ell$ sind und dass sie in $\Z$ liegen.





\inputfaktbeweis
{Elliptische Kurve/Absolute Galoisgruppe/Darstellung auf Tate-Modul/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{ { \overline{ K } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {algebraischer Abschluss}{}{} von $K$ und $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über $K$. Es sei $G_{ { \overline{ K } } {{|}} K }$ die \definitionsverweis {absolute Galoisgruppe}{}{} von $K$ und sei $\ell$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen natürlichen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { G_{ { \overline{ K } } {{|}} K } } { \operatorname{Aut} \, T_\ell(E) } {\sigma} { { \left( { \left( P_n \right) }_{n \in \N } \mapsto { \left( \sigma(P_n) \right) }_{ n \in \N } \right) } } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei \maabb {\sigma} { { \overline{ K } } } { { \overline{ K } } } {} ein Element der absoluten Galoisgruppe, also ein $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{.} Dieser induziert einen \definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {E( { \overline{ K } })} { E( { \overline{ K } }) } {P} { \sigma(P) } {,} wobei einfach
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ (x,y,z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma(P) }
{ = }{ (\sigma(x), \sigma(y), \sigma(z)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} abgebildet wird. Dieser Automorphismus ist mit der Addition auf der elliptischen Kurve verträglich, da die Addition durch Polynome aus $K$ definiert ist, und somit induziert $\sigma$ einen Gruppenautomorphismus auf $E[ \ell^n]$. Dabei liegen kommutative Diagramme
\mathdisp {\begin{matrix} E[ \ell^{ n+1}] & \stackrel{ \cdot \ell }{\longrightarrow} & E[ \ell^n] & \\ \!\!\!\!\! \sigma \downarrow & & \downarrow \sigma \!\!\!\!\! & \\ E[ \ell^{ n+1}] & \stackrel{ \ell }{\longrightarrow} & E[ \ell^n] & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor und somit führt dies zu einem Automorphismus auf dem Tate-Modul. Die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus, da ja jeweils die Automorphismen hintereinandergeschaltet werden.

}