Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 18

Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve

Zu einem Gitter  $\Gamma \subseteq ℂ$  ist die zugehörige elliptische Kurve $ℂ/\Gamma$ eine Gruppe, die als topologische Gruppe isomorph zu $S^1\times S^1$. Auf dieser Ebene sind also alle elliptischen Kurven über $ℂ$ untereinander gleich. Die Gruppenstruktur kann man insbesondere dadurch verstehen, dass man

$S^1=ℝ/\mathbb{Z}$

versteht. Eine reelle Zahl $r$ definiert in $S^1$ genau dann das Nullelement, wenn  $r\in \mathbb{Z}$  ist. Eine reelle Zahl $r$ definiert in $S^1$ genau dann ein Torsionselement, wenn  $r\in \mathbb{Q}$  ist. Wenn  $r=\frac{m}{n}$  eine gekürzte Darstellung ist, dann ist $n$ die Ordnung von $[r]$ in $S^1$. Wenn die Darstellung nicht notwendigerweise gekürzt ist, so ist $n$ ein Vielfaches der Ordnung. Insbesondere sind zu gegebenem  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  die verschiedenen Elemente $[\frac{0}{n}],[\frac{1}{n}],[\frac{2}{n}],\dots ,[\frac{n-1}{n}]$ diejenigen Elemente, deren Ordnung ein Vielfaches von $n$ ist. Diese bilden eine Untergruppe der Kreisgruppe, die aus $n$ Elementen besteht, und isomorph zur zyklischen Gruppe $\mathbb{Z}/(n)$ ist.

Lemma

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter.

Dann ist die Torsionsuntergruppe ${\mathrm{Tor}}_n(ℂ/\Gamma )$ zur Ordnung $n$ des komplexen Torus $ℂ/\Gamma$ isomorph zu $\mathbb{Z}/(n)\times \mathbb{Z}/(n)$ und besteht aus $n^2$ Elementen.

Beweis

Dies folgt direkt aus  $ℂ/\Gamma \cong S^1\times S^1$. 

$◻$

Bei  $\Gamma =⟨w_1,w_2⟩$  kann man die Torsionsuntergruppe ${\mathrm{Tor}}_n(ℂ/\Gamma )$ explizit als $[\frac{i}{n}{w}_1+\frac{j}{n}{w}_2]$, $0\le i,j\le n-1$, angeben.

Wenn eine elliptische Kurve über einem beliebigen Körper $K$ definiert ist, so ist die Menge der $K$-Punkte eine kommutative Gruppe. Wenn  $K\subseteq L$  ein Erweiterungskörper ist, so ist auch die Menge der $L$-Punkte der Kurve eine kommutative Gruppe, die typischerweise aus mehr Elementen besteht, also

$E(K)\subseteq E(L).$

Es gibt im Allgemeinen auch mehr Torsionselement über $L$ als über $K$.

Lemma

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ der Charakteristik $\ne 2$ mit der affinen Gleichung  $y^2=h(x)$  mit einem kubischen Polynom $h(x)$ ohne mehrfache Nullstelle.

Dann sind die Punkte der Ordnung $2$ die Punkte $(a,0,1)$, wobei $a$ die Nullstellen von $h$ durchläuft. Insbesondere ist

$\mathrm{\#}\left({\mathrm{Tor}}_2(E(K))\right)\le 4.$

Bei $K$ algebraisch abgeschlossen ist  ${\mathrm{Tor}}_2(E(K))\cong \mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(2)$. 

Beweis

Die Bedingung

$P+P=𝔒=(0,1,0)$

bedeutet, dass die Tangente durch $P$ durch $𝔒$ verläuft. Die Geraden durch $𝔒$ sind neben der unendlich fernen Geraden durch die affinen Gleichungen  $X=c$  mit einem  $c\in K$  gegeben. Die (Richtung der) Tangente zu $(a,b)$ ist nach Bemerkung 2.4 als Kern von $(h^{\prime }(a),2b)$ gegeben, also durch die Gleichung  $h^{\prime }(a)X-2bY=0$.  Übereinstimmung gibt es bei  $b=0$,  was wegen der Kurvengleichung erfordert, dass $a$ eine Nullstelle von $h$ ist.

$◻$

Satz

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$. Es sei $n$ teilerfremd zur Charakteristik von $K$.

Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung $n$ die Isomorphie

${\mathrm{Tor}}_n(E(K))\cong \mathbb{Z}/(n)\times \mathbb{Z}/(n).$

Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt

$\mathrm{\#}\left({\mathrm{Tor}}_n(E(K))\right)\le n^2.$

Beweis

Die Abbildung

$[n]:E⟶E,P⟼nP,$

ist eine Isogenie und besitzt nach Satz 14.2 den Grad $n^2$. Daher besteht ihr Kern als eine Faser maximal aus $n^2$ Elementen. Unter der numerischen Bedingung ist die Isogenie nach Korollar 16.10 separabel und daher besteht ihr Kern nach Korollar 15.11 aus $n^2$ Elementen. Da der Kern eine kommutative $n$-Torsionsgruppe ist, muss es sich nach Aufgabe 18.6 um $\mathbb{Z}/(n)\times \mathbb{Z}/(n)$ handeln.

$◻$

Korollar

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$.

Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung $n$ die Abschätzung

$\mathrm{\#}\left({\mathrm{Tor}}_n(E(K))\right)\le n^2.$

Beweis

Dies folgt aus Satz 18.3, indem man die elliptische Kurve über $\bar{K}$ betrachtet.

$◻$

Wenn $E$ über einem Körper $K$ definiert, so muss man zwischen den über $K$ und den über $\bar{K}$ definierten Torsionspunkten unterscheiden. Wir bezeichnen die in einem algebraischen Abschluss von $K$ gewonnenen $n$-Torsionspunkte mit $E[n]$, also

$E[n]={\mathrm{Tor}}_n(E(\bar{K})).$

Beispiel

Das reelle Bild der Kurve  $y^2=x^3-x$. 

Auf der durch  $y^2=x^3-x$  gegebenen elliptischen Kurve gibt es über $\mathbb{Q}$ nur die vier Punkte $(0,0),(1,0),(-1,0),𝔒$, die Torsionspunkte sind. Wenn man die Gleichung über dem Erweiterungskörper $\mathbb{Q}[\mathrm{i}]$ betrachtet, erhält man neue Punkte. So ist $(\mathrm{i},-1+\mathrm{i})$ ein weiterer Punkt, es ist ja

${(-1+\mathrm{i})}^2=-2\mathrm{i}={\mathrm{i}}^3-\mathrm{i}.$

Ferner ergibt sich der Punkt $(-\mathrm{i},1+\mathrm{i})$, und zwei weitere Punkte, da man $y$ durch $-y$ ersetzen kann.

Definition

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Körper $K$. Dann nennt man den Rang der kommutativen Gruppe $E(K)$ den Rang von $E$.

Beispiel

Auf der durch  $y^2=x^3-2x$  gegebenen elliptischen Kurve gibt es über $\mathbb{Q}$ die beiden Torsionspunkte $(0,0),𝔒$. Daneben gibt es noch den Punkt $(-1,1)$, dieser ist kein Torsionspunkt.

Die beiden folgenden elliptische Kurven über $\mathbb{Q}$ besitzen eine vergleichsweise große Torsionsgruppe.

Beispiel

Auf der durch  $y^2=x^3+1$  gegebenen elliptischen Kurve gibt es über $\mathbb{Q}$ die sechs Torsionspunkte $𝔒,(-1,0),(0,1),(0,-1),(2,3),(2,-3)$. Dabei hat $(-1,0)$ nach Lemma 18.2 die Ordnung $2$ und es gibt (über $\mathbb{Q}$ und über $ℝ$) keinen weiteren Punkt mit Ordnung $2$. In Aufgabe 6.3 haben wir gesehen, dass $(0,1)$ und $(0,-1)$ zueinander negative Elemente der Ordnung $3$ sind. In Beispiel 6.6 haben wir  $(0,1)+(2,3)=(-1,0)$  berechnet. Also ist

$(2,3)=(-1,0)-(0,1)=(-1,0)+(0,1)$

und daher besitzen $(2,3)$ und $(2,-3)$ die Ordnung $6$.

Beispiel

Auf der durch  $y^2=x^3+4x$  gegebenen elliptischen Kurve gibt es über $\mathbb{Q}$ die vier Torsionspunkte $𝔒,(0,0),(2,4),(2,-4)$. Dabei besitzt $(0,0)$ nach Lemma 18.2 die Ordnung $2$ und sonst über $\mathbb{Q}$ (und $ℝ$) keinen weiteren Punkt der Ordnung $2$. Die Punkte $(2,4)$ und $(2,-4)$ haben nach Aufgabe 6.5 die Ordnung $4$.

Der Tate-Modul

Da man bei einer elliptischen Kurve $E$ zwischen den $m$-Torsionspunkten von $E(K)$ und denen von $E(\bar{K})$ unterscheiden muss, setzen wir

$E[m]={\mathrm{Tor}}_m(E(\bar{K})).$

Da wir die folgende Konstruktion insbesondere auf $E(\bar{K})$, setzen wir für eine kommutative Gruppe $G$ bereits

$G[m]={\mathrm{Tor}}_m\left(G\right).$

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und $\ell$ eine Primzahl. Die Torsionsuntergruppen $G[{\ell }^n]$ zur Ordnung ${\ell }^n$ stehen zueinander in der Beziehung

$G[{\ell }^{n+1}]⟶G[{\ell }^n],g⟼\ell g,$

da ja aus

${\ell }^{n+1}g={\ell }^n(\ell g)$

folgt, dass ein Element der Ordnung ${\ell }^{n+1}$ unter Multiplikation mit $\ell$ auf ein Element der Ordnung ${\ell }^n$ abgebildet wird. Es liegt somit ein gerichtetes System

$G[{\ell }^{n+1}]\stackrel{\cdot \ell }{⟶}G[{\ell }^n]\stackrel{\cdot \ell }{⟶}G[{\ell }^{n-1}]\stackrel{\cdot \ell }{⟶}\dots \stackrel{\cdot \ell }{⟶}G[{\ell }^2]\stackrel{\cdot \ell }{⟶}G[{\ell }^1]\stackrel{\cdot \ell }{⟶}G[{\ell }^0]=\{0\}$

vor. Über dieses System kann man den projektiven Limes bilden. Er besteht aus Folgen ${\left(g_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit  $g_n\in G[{\ell }^n]$  und mit  $\ell g_{n+1}=g_n$.  Diese Konstruktion ergibt eigentlich nur dann Sinn, wenn es zu jedem ${\ell }^n$ auch Torsionselemente gibt.

Definition

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe und $\ell$ eine Primzahl. Unter dem $\ell$-adischen Tate-Modul von $G$ versteht man die Gruppe

$T_{\ell }(G)=\underset{n\in \mathbb{N}}{\underleftarrow{\lim }}G[{\ell }^n],$

wobei $G[{\ell }^n]$ die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${\ell }^n$ bezeichnet.

Lemma

Es seien $G$ und $H$ kommutative Gruppen und sei $\ell$ eine Primzahl. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Ein Gruppenhomomorphismus $\phi :G\to H$ induziert einen Homomorphismus

   ${\phi }_{\ell }:T_{\ell }(G)⟶T_{\ell }(H)$

   der zugehörigen $\ell$-adischen Tate-Moduln.

2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   ${\mathrm{Hom}}_{}(G,H)⟶{\mathrm{Hom}}_{}(T_{\ell }(G),T_{\ell }(H)),\phi ⟼{\phi }_{\ell },$

   vor.

3. Die Abbildung

   ${\mathrm{End}}_{}\left(G\right)⟶{\mathrm{End}}_{}(T_{\ell }(G)),\phi ⟼{\phi }_{\ell },$

   ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes von $G$ in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Beweis

Zu jedem  $n\in \mathbb{N}$  liegt ein Gruppenhomomorphismus

$\phi :G[{\ell }^n]⟶H[{\ell }^n]$

vor. Dabei liegt ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{cccc}G[{\ell }^{n+1}]& \stackrel{\cdot \ell }{⟶}& G[{\ell }^n]& \\ \phi \downarrow & & \downarrow \phi & \\ H[{\ell }^{n+1}]& \stackrel{\ell }{⟶}& H[{\ell }^n]& \end{array}$

vor. Daher setzen sich die Gruppenhomomorphismen zu einem Homomorphismus zwischen den projektiven Limiten zusammen.

$◻$

Nach Aufgabe 18.22 ist der Tate-Modul ein Modul über der Komplettierung ${\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell }$ von ${\mathbb{Z}}_{(\ell )}$ und der Homomorphismus aus Lemma 18.11  (1) ist ein ${\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell }$-Modulhomomorphismus.

Für eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ betrachten wir stets den Tate-Modul zur elliptischen Kurve über dem algebraischen Abschluss von $K$.

Definition

Zu einer elliptischen Kurve über einem Körper $K$ und einer Primzahl $\ell$ versteht man unter dem $\ell$-adischen Tate-Modul den projektiven Limes

$T_{\ell }(E)=\underset{n\in \mathbb{N}}{\underleftarrow{\lim }}E[{\ell }^n]=\underset{n\in \mathbb{N}}{\underleftarrow{\lim }}{\mathrm{Tor}}_{{\ell }^n}(E(\bar{K})).$

Man bezeichnet hier die Primzahl mit $\ell$, da sie zumeist verschieden von der Charakteristik des Körpers gewählt wird. Wenn $\ell$ nicht die Charakteristik ist, so ist

$E[{\ell }^n]\cong \mathbb{Z}/({\ell }^n)\times \mathbb{Z}/({\ell }^n)$

nach Satz 18.3. Unter den natürlichen Abbildungen

$\ell :E[{\ell }^{n+1}]\cong \mathbb{Z}/({\ell }^{n+1})\times \mathbb{Z}/({\ell }^{n+1})⟶E[{\ell }^n]\cong \mathbb{Z}/({\ell }^n)\times \mathbb{Z}/({\ell }^n)$

wird ein Erzeugerpaar auf ein Erzeugerpaar abgebildet. Man kann also die gerichtete Familie identifizieren mit der zweifach genommenen Restklassenfamilie

$⟶\mathbb{Z}/({\ell }^3)⟶\mathbb{Z}/({\ell }^2)⟶\mathbb{Z}/(\ell )⟶0,$

wobei die Homomorphismen in der Restklassenfamilie einfach die Restklassenringhomomorphismen sind. Der zugehörige projektive Limes ist nach Definition die $\ell$-adische Komplettierung des lokalen Ringes ${\mathbb{Z}}_{(\ell )}$ am maximalen Ideal $(\ell )$. Diese wird mit ${\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell }$ bezeichnet. Daher gibt es eine nichtkanonische Isomorphie

$T_{\ell }(E)\cong {\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell }\times {\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell }.$

Im Fall eines komplexen Torus $ℂ/\Gamma$ zu einem komplexen Gitter  $\Gamma \subseteq ℂ$  gibt es aber eine kanonische Isomorphie

$T_{\ell }(E)\cong \underset{n\in \mathbb{N}}{\underleftarrow{\lim }}\Gamma /{\ell }^n\Gamma ,$

also zur Vervollständigung des Gitters bezüglich der Untergruppen ${\ell }^n\Gamma$, $n\in \mathbb{N}$, siehe Aufgabe 18.12 und Aufgabe 18.25. Da das Gitter aufgrund von Satz 8.11 die Fundamentalgruppe und die erste Homologiegruppe des Torus ist, sollte man die Tate-Moduln als ($\ell$-adische) Versionen der ersten Homologie der elliptischen Kurve ansehen.

Satz

Es seien $E_1$ und $E_2$ elliptische Kurven über einem Körper $K$ und sei $\ell$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Eine Isogenie

   $\phi :E_1⟶E_2$

   definiert einen Gruppenhomomorphismus

   ${\phi }_{\ell }:T_{\ell }(E_1)⟶T_{\ell }(E_2).$

2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   ${\mathrm{Hom}}_K(E_1,E_2)⟶{\mathrm{Hom}}_{}(T_{\ell }(E_1),T_{\ell }(E_2)),\phi ⟼{\phi }_{\ell },$

   vor.

3. Die Abbildung

   ${\mathrm{End}}_K\left(E\right)⟶{\mathrm{End}}_{}(T_{\ell }(E)),\phi ⟼{\phi }_{\ell },$

   ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes einer elliptischen Kurve in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 18.11.

$◻$

Die Multiplikation mit $m$ auf der elliptischen Kurve $E$ definiert die Multiplikation mit $m$ auf

$E[{\ell }^n]\cong \mathbb{Z}/({\ell }^n)\times \mathbb{Z}/({\ell }^n).$

Wenn $m$ ein Vielfaches von ${\ell }^n$ ist, so handelt es sich um die Nullabbildung. Für $n$ hinreichend groß ist dies aber ausgeschlossen und somit induziert die Multiplikation auf dem Tate-Modul $T_{\ell }(E)$ die Multiplikation mit $m$. Deren Determinante ist $m^2$ und stimmt mit dem Grad der Multiplikation überein. Dieser Sachverhalt gilt für sämtliche Isogenien, was wir ohne Beweis mitteilen. Für den Fall einer elliptischen Kurve über $ℂ$ siehe Aufgabe 18.28.

Satz

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem Körper $K$, es sei

$\phi :E⟶E$

eine Isogenie und es sei $\ell$ eine von der Charakteristik von $K$ verschiedene Primzahl. Es sei

${\phi }_{\ell }:T_{\ell }(E)⟶T_{\ell }(E)$

die induzierte ${\mathbb{Z}}_{\ell }$-lineare Abbildung auf dem $\ell$-adischen Tate-Modul. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   $det\left({\phi }_{\ell }\right)=\mathrm{Grad}(\phi ).$

2. Es ist

   $\mathrm{Spur}\left({\phi }_{\ell }\right)=1+\mathrm{Grad}(\phi )-\mathrm{Grad}({\mathrm{Id}}_E-\phi ).$

3. Das charakteristische Polynom von ${\phi }_{\ell }$ ist

   $T^2-(1+\mathrm{Grad}(\phi )-\mathrm{Grad}({\mathrm{Id}}_E-\phi ))T+\mathrm{Grad}(\phi ).$

Es ist zu betonen, dass die Daten der linearen Algebra unabhängig von $\ell$ sind und dass sie in $\mathbb{Z}$ liegen.

Satz

Es sei $K$ ein Körper,  $K\subseteq \bar{K}$  ein algebraischer Abschluss von $K$ und $E$ eine elliptische Kurve über $K$. Es sei $G_{\bar{K}|K}$ die absolute Galoisgruppe von $K$ und sei $\ell$ eine Primzahl.

Dann gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

$G_{\bar{K}|K}⟶\mathrm{Aut}{T}_{\ell }(E),\sigma ⟼({\left(P_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\mapsto {(\sigma (P_n))}_{n\in \mathbb{N}}).$

Beweis

Es sei $\sigma :\bar{K}\to \bar{K}$ ein Element der absoluten Galoisgruppe, also ein $K$-Algebraautomorphismus. Dieser induziert einen Automorphismus

$E(\bar{K})⟶E(\bar{K}),P⟼\sigma (P),$

wobei einfach  $P=(x,y,z)$  auf  $\sigma (P)=(\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z))$  abgebildet wird. Dieser Automorphismus ist mit der Addition auf der elliptischen Kurve verträglich, da die Addition durch Polynome aus $K$ definiert ist, und somit induziert $\sigma$ einen Gruppenautomorphismus auf $E[{\ell }^n]$. Dabei liegen kommutative Diagramme

$\begin{array}{cccc}E[{\ell }^{n+1}]& \stackrel{\cdot \ell }{⟶}& E[{\ell }^n]& \\ \sigma \downarrow & & \downarrow \sigma & \\ E[{\ell }^{n+1}]& \stackrel{\ell }{⟶}& E[{\ell }^n]& \end{array}$

vor und somit führt dies zu einem Automorphismus auf dem Tate-Modul. Die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus, da ja jeweils die Automorphismen hintereinandergeschaltet werden.

$◻$

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