Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 18

Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve

Zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ist die zugehörige elliptische Kurve ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ eine Gruppe, die als topologische Gruppe isomorph zu ${}S^{1}\times S^{1}$. Auf dieser Ebene sind also alle elliptischen Kurven über ${}{\mathbb {C} }$ untereinander gleich. Die Gruppenstruktur kann man insbesondere dadurch verstehen, dass man

${}S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} \,$

versteht. Eine reelle Zahl ${}r$ definiert in ${}S^{1}$ genau dann das Nullelement, wenn ${}r\in \mathbb {Z}$ ist. Eine reelle Zahl ${}r$ definiert in ${}S^{1}$ genau dann ein Torsionselement, wenn ${}r\in \mathbb {Q}$ ist. Wenn ${}r={\frac {m}{n}}$ eine gekürzte Darstellung ist, dann ist ${}n$ die Ordnung von ${}[r]$ in ${}S^{1}$. Wenn die Darstellung nicht notwendigerweise gekürzt ist, so ist ${}n$ ein Vielfaches der Ordnung. Insbesondere sind zu gegebenem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die verschiedenen Elemente ${}[{\frac {0}{n}}],[{\frac {1}{n}}],[{\frac {2}{n}}],\ldots ,[{\frac {n-1}{n}}]$ diejenigen Elemente, deren Ordnung ein Vielfaches von ${}n$ ist. Diese bilden eine Untergruppe der Kreisgruppe, die aus ${}n$ Elementen besteht, und isomorph zur zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist.

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann ist die Torsionsuntergruppe ${}\operatorname {Tor} _{n}{\left({\mathbb {C} }/\Gamma \right)}$ zur Ordnung ${}n$ des komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$ und besteht aus ${}n^{2}$ Elementen.

Beweis

Dies folgt direkt aus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma \cong S^{1}\times S^{1}$.

$\Box$

Bei ${}\Gamma =\langle w_{1},w_{2}\rangle$ kann man die Torsionsuntergruppe ${}\operatorname {Tor} _{n}{\left({\mathbb {C} }/\Gamma \right)}$ explizit als ${}[{\frac {i}{n}}w_{1}+{\frac {j}{n}}w_{2}]$, ${}0\leq i,j\leq n-1$, angeben.

Wenn eine elliptische Kurve über einem beliebigen Körper ${}K$ definiert ist, so ist die Menge der ${}K$-Punkte eine kommutative Gruppe. Wenn ${}K\subseteq L$ ein Erweiterungskörper ist, so ist auch die Menge der ${}L$-Punkte der Kurve eine kommutative Gruppe, die typischerweise aus mehr Elementen besteht, also

${}E(K)\subseteq E(L)\,.$

Es gibt im Allgemeinen auch mehr Torsionselement über ${}L$ als über ${}K$.

Lemma

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2$ mit der affinen Gleichung ${}y^{2}=h(x)$ mit einem kubischen Polynom ${}h(x)$ ohne mehrfache Nullstelle.

Dann sind die Punkte der Ordnung ${}2$ die Punkte ${}(a,0,1)$, wobei ${}a$ die Nullstellen von ${}h$ durchläuft. Insbesondere ist

${}{\#\left(\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(K)\right)}\right)}\leq 4\,.$

Bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist ${}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(K)\right)}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

Beweis

Die Bedingung

${}P+P={\mathfrak {O}}=(0,1,0)\,$

bedeutet, dass die Tangente durch ${}P$ durch ${}{\mathfrak {O}}$ verläuft. Die Geraden durch ${}{\mathfrak {O}}$ sind neben der unendlich fernen Geraden durch die affinen Gleichungen ${}X=c$ mit einem ${}c\in K$ gegeben. Die (Richtung der) Tangente zu ${}(a,b)$ ist nach Bemerkung 2.4 als Kern von ${}\left(h'(a),\,2b\right)$ gegeben, also durch die Gleichung ${}h'(a)X-2bY=0$. Übereinstimmung gibt es bei ${}b=0$, was wegen der Kurvengleichung erfordert, dass ${}a$ eine Nullstelle von ${}h$ ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Es sei ${}n$ teilerfremd zur Charakteristik von ${}K$.

Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung ${}n$ die Isomorphie

${}\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\cong \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\,.$

Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt

${}{\#\left(\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\right)}\leq n^{2}\,.$

Beweis

Die Abbildung

$[n]\colon E\longrightarrow E,\,P\longmapsto nP,$

ist eine Isogenie und besitzt nach Satz 14.2 den Grad ${}n^{2}$. Daher besteht ihr Kern als eine Faser maximal aus ${}n^{2}$ Elementen. Unter der numerischen Bedingung ist die Isogenie nach Korollar 16.10 separabel und daher besteht ihr Kern nach Korollar 15.11 aus ${}n^{2}$ Elementen. Da der Kern eine kommutative ${}n$-Torsionsgruppe ist, muss es sich nach Aufgabe 18.6 um ${}\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$ handeln.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$.

Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung ${}n$ die Abschätzung

${}{\#\left(\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\right)}\leq n^{2}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Satz 18.3, indem man die elliptische Kurve über ${}{\overline {K}}$ betrachtet.

$\Box$

Wenn ${}E$ über einem Körper ${}K$ definiert, so muss man zwischen den über ${}K$ und den über ${}{\overline {K}}$ definierten Torsionspunkten unterscheiden. Wir bezeichnen die in einem algebraischen Abschluss von ${}K$ gewonnenen ${}n$-Torsionspunkte mit ${}E[n]$, also

${}E[n]=\operatorname {Tor} _{n}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.$

Beispiel

Das reelle Bild der Kurve ${}y^{2}=x^{3}-x$.

Auf der durch ${}y^{2}=x^{3}-x$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über ${}\mathbb {Q}$ nur die vier Punkte ${}(0,0),\,(1,0),\,(-1,0),\,{\mathfrak {O}}$, die Torsionspunkte sind. Wenn man die Gleichung über dem Erweiterungskörper ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ betrachtet, erhält man neue Punkte. So ist ${}({\mathrm {i} },-1+{\mathrm {i} })$ ein weiterer Punkt, es ist ja

${}{\left(-1+{\mathrm {i} }\right)}^{2}=-2{\mathrm {i} }={\mathrm {i} }^{3}-{\mathrm {i} }\,.$

Ferner ergibt sich der Punkt ${}(-{\mathrm {i} },1+{\mathrm {i} })$, und zwei weitere Punkte, da man ${}y$ durch ${}-y$ ersetzen kann.

Definition

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$. Dann nennt man den Rang der kommutativen Gruppe ${}E(K)$ den Rang von ${}E$.

Beispiel

Auf der durch ${}y^{2}=x^{3}-2x$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über ${}\mathbb {Q}$ die beiden Torsionspunkte ${}(0,0),\,{\mathfrak {O}}$. Daneben gibt es noch den Punkt ${}(-1,1)$, dieser ist kein Torsionspunkt.

Die beiden folgenden elliptische Kurven über ${}\mathbb {Q}$ besitzen eine vergleichsweise große Torsionsgruppe.

Beispiel

Auf der durch ${}y^{2}=x^{3}+1$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über ${}\mathbb {Q}$ die sechs Torsionspunkte ${}{\mathfrak {O}},\,(-1,0),\,(0,1),\,(0,-1),\,(2,3),\,(2,-3)$. Dabei hat ${}(-1,0)$ nach Lemma 18.2 die Ordnung ${}2$ und es gibt (über ${}\mathbb {Q}$ und über ${}\mathbb {R}$) keinen weiteren Punkt mit Ordnung ${}2$. In Aufgabe 6.3 haben wir gesehen, dass ${}(0,1)$ und ${}(0,-1)$ zueinander negative Elemente der Ordnung ${}3$ sind. In Beispiel 6.6 haben wir ${}(0,1)+(2,3)=(-1,0)$ berechnet. Also ist

${}(2,3)=(-1,0)-(0,1)=(-1,0)+(0,1)\,$

und daher besitzen ${}(2,3)$ und ${}(2,-3)$ die Ordnung ${}6$.

Beispiel

Auf der durch ${}y^{2}=x^{3}+4x$ gegebenen elliptischen Kurve gibt es über ${}\mathbb {Q}$ die vier Torsionspunkte ${}{\mathfrak {O}},\,(0,0),\,(2,4),\,(2,-4)$. Dabei besitzt ${}(0,0)$ nach Lemma 18.2 die Ordnung ${}2$ und sonst über ${}\mathbb {Q}$ (und ${}\mathbb {R}$) keinen weiteren Punkt der Ordnung ${}2$. Die Punkte ${}(2,4)$ und ${}(2,-4)$ haben nach Aufgabe 6.5 die Ordung ${}4$.

Der Tate-Modul

Da man bei einer elliptischen Kurve ${}E$ zwischen den ${}m$-Torsionspunkten von ${}E(K)$ und denen von ${}E({\overline {K}})$ unterscheiden muss, setzen wir

${}E[m]=\operatorname {Tor} _{m}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.$

Da wir die folgende Konstruktion insbesondere auf ${}E({\overline {K}})$, setzen wir für eine kommutative Gruppe ${}G$ bereits

${}G[m]=\operatorname {Tor} _{m}{\left(G\right)}\,.$

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und ${}\ell$ eine Primzahl. Die Torsionsuntergruppen ${}G[\ell ^{n}]$ zur Ordnung ${}\ell ^{n}$ stehen zueinander in der Beziehung

$G[\ell ^{n+1}]\longrightarrow G[\ell ^{n}],\,g\longmapsto \ell g,$

da ja aus

${}\ell ^{n+1}g=\ell ^{n}(\ell g)\,$

folgt, dass ein Element der Ordnung ${}\ell ^{n+1}$ unter Multiplikation mit ${}\ell$ auf ein Element der Ordnung ${}\ell ^{n}$ abgebildet wird. Es liegt somit ein gerichtetes System

$G[\ell ^{n+1}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{n}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{n-1}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{2}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{1}]{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}G[\ell ^{0}]=\{0\}$

vor. Über dieses System kann man den projektiven Limes bilden. Er besteht aus Folgen ${}{\left(g_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}g_{n}\in G[\ell ^{n}]$ und mit ${}\ell g_{n+1}=g_{n}$. Diese Konstruktion ergibt eigentlich nur dann Sinn, wenn es zu jedem ${}\ell ^{n}$ auch Torsionselemente gibt.

Definition

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und ${}\ell$ eine Primzahl. Unter dem ${}\ell$-adischen Tate-Modul von ${}G$ versteht man die Gruppe

${}T_{\ell }(G)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }G[\ell ^{n}]\,,$

wobei ${}G[\ell ^{n}]$ die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}\ell ^{n}$ bezeichnet.

Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ kommutative Gruppen und sei ${}\ell$ eine Primzahl. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ induziert einen Homomorphismus

   $\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(G)\longrightarrow T_{\ell }(H)$

   der zugehörigen ${}\ell$-adischen Tate-Moduln.

2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   $\operatorname {Hom} _{}{\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{}{\left(T_{\ell }(G),T_{\ell }(H)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   vor.

3. Die Abbildung

   $\operatorname {End} _{}{\left(G\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(T_{\ell }(G)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes von ${}G$ in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Beweis

Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ liegt ein Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G[\ell ^{n}]\longrightarrow H[\ell ^{n}]$

vor. Dabei liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}G[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}&G[\ell ^{n}]&\\\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\H[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}&H[\ell ^{n}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor. Daher setzen sich die Gruppenhomomorphismen zu einem Homomorphismus zwischen den projektiven Limiten zusammen.

$\Box$

Nach Aufgabe 18.22 ist der Tate-Modul ein Modul über der Komplettierung ${}{\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$ von ${}\mathbb {Z} _{(\ell )}$ und der Homomorphismus aus Lemma 18.11  (1) ist ein ${}{\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$- Modulhomomorphismus.

Für eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ betrachten wir stets den Tate-Modul zur elliptischen Kurve über dem algebraischen Abschluss von ${}K$.

Definition

Zu einer elliptischen Kurve über einem Körper ${}K$ und einer Primzahl ${}\ell$ versteht man unter dem ${}\ell$-adischen Tate-Modul den projektiven Limes

${}T_{\ell }(E)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }E[\ell ^{n}]=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.$

Man bezeichnet hier die Primzahl mit ${}\ell$, da sie zumeist verschieden von der Charakteristik des Körpers gewählt wird. Wenn ${}\ell$ nicht die Charakteristik ist, so ist

${}E[\ell ^{n}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\,$

nach Satz 18.3. Unter den natürlichen Abbildungen

$\ell \colon E[\ell ^{n+1}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n+1})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n+1})\longrightarrow E[\ell ^{n}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n})$

wird ein Erzeugerpaar auf ein Erzeugerpaar abgebildet. Man kann also die gerichtete Familie identifizieren mit der zweifach genommenen Restklassenfamilie

$\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell ^{3})\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell ^{2})\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )\longrightarrow 0,$

wobei die Homomorphismen in der Restklassenfamilie einfach die Restklassenringhomomorphismen sind. Der zugehörige projektive Limes ist nach Definition die ${}\ell$-adische Komplettierung des lokalen Ringes ${}\mathbb {Z} _{(\ell )}$ am maximalen Ideal ${}(\ell )$. Diese wird mit ${}{\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }$ bezeichnet. Daher gibt es eine nichtkanonische Isomorphie

${}T_{\ell }(E)\cong {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\times {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\,.$

Im Fall eines komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem komplexen Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ gibt es aber eine kanonische Isomorphie

${}T_{\ell }(E)\cong \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\Gamma /\ell ^{n}\Gamma \,,$

also zur Vervollständigung des Gitters bezüglich der Untergruppen ${}\ell ^{n}\Gamma$, ${}n\in \mathbb {N}$, siehe Aufgabe 18.12 und Aufgabe 18.25. Da das Gitter aufgrund von Satz 8.11 die Fundamentalgruppe und die erste Homologiegruppe des Torus ist, sollte man die Tate-Moduln als (${}\ell$-adische) Versionen der ersten Homologie der elliptischen Kurve ansehen.

Satz

Es seien ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper ${}K$ und sei ${}\ell$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Eine Isogenie

   $\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

   definiert einen Gruppenhomomorphismus

   $\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E_{1})\longrightarrow T_{\ell }(E_{2}).$

2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(E_{1},E_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{}{\left(T_{\ell }(E_{1}),T_{\ell }(E_{2})\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   vor.

3. Die Abbildung

   $\operatorname {End} _{K}{\left(E\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(T_{\ell }(E)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes einer elliptischen Kurve in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 18.11.

$\Box$

Die Multiplikation mit ${}m$ auf der elliptischen Kurve ${}E$ definiert die Multiplikation mit ${}m$ auf

${}E[\ell ^{n}]\cong \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\times \mathbb {Z} /(\ell ^{n})\,.$

Wenn ${}m$ ein Vielfaches von ${}\ell ^{n}$ ist, so handelt es sich um die Nullabbildung. Für ${}n$ hinreichend groß ist dies aber ausgeschlossen und somit induziert die Multiplikation auf dem Tate-Modul ${}T_{\ell }(E)$ die Multiplikation mit ${}m$. Deren Determinante ist ${}m^{2}$ und stimmt mit dem Grad der Multiplikation überein. Dieser Sachverhalt gilt für sämtliche Isogenien, was wir ohne Beweis mitteilen. Für den Fall einer elliptischen Kurve über ${}{\mathbb {C} }$ siehe Aufgabe 18.28.

Satz

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem Körper ${}K$, es sei

$\varphi \colon E\longrightarrow E$

eine Isogenie und es sei ${}\ell$ eine von der Charakteristik von ${}K$ verschiedene Primzahl. Es sei

$\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E)\longrightarrow T_{\ell }(E)$

die induzierte ${}\mathbb {Z} _{\ell }$-lineare Abbildung auf dem ${}\ell$-adischen Tate-Modul. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}\det \left(\varphi _{\ell }\right)=\operatorname {Grad} \,(\varphi )\,.$

2. Es ist

   ${}\operatorname {Spur} {\left(\varphi _{\ell }\right)}=1+\operatorname {Grad} \,(\varphi )-\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E}-\varphi )\,.$

3. Das charakteristische Polynom von ${}\varphi _{\ell }$ ist

   $T^{2}-(1+\operatorname {Grad} \,(\varphi )-\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E}-\varphi ))T+\operatorname {Grad} \,(\varphi ).$

Es ist zu betonen, dass die Daten der linearen Algebra unabhängig von ${}\ell$ sind und dass sie in ${}\mathbb {Z}$ liegen.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K\subseteq {\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von ${}K$ und ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}K$. Es sei ${}G_{{\overline {K}}{|}K}$ die absolute Galoisgruppe von ${}K$ und sei ${}\ell$ eine Primzahl.

Dann gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

$G_{{\overline {K}}{|}K}\longrightarrow \operatorname {Aut} \,T_{\ell }(E),\,\sigma \longmapsto {\left({\left(P_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mapsto {\left(\sigma (P_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}.$

Beweis

Es sei ${}\sigma \colon {\overline {K}}\rightarrow {\overline {K}}$ ein Element der absoluten Galoisgruppe, also ein ${}K$- Algebraautomorphismus. Dieser induziert einen Automorphismus

$E({\overline {K}})\longrightarrow E({\overline {K}}),\,P\longmapsto \sigma (P),$

wobei einfach ${}P=(x,y,z)$ auf ${}\sigma (P)=(\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z))$ abgebildet wird. Dieser Automorphismus ist mit der Addition auf der elliptischen Kurve verträglich, da die Addition durch Polynome aus ${}K$ definiert ist, und somit induziert ${}\sigma$ einen Gruppenautomorphismus auf ${}E[\ell ^{n}]$. Dabei liegen kommutative Diagramme

${\begin{matrix}E[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}&E[\ell ^{n}]&\\\!\!\!\!\!\sigma \downarrow &&\downarrow \sigma \!\!\!\!\!&\\E[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}&E[\ell ^{n}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor und somit führt dies zu einem Automorphismus auf dem Tate-Modul. Die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus, da ja jeweils die Automorphismen hintereinandergeschaltet werden.

$\Box$

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