Kurs:Funktionentheorie/10/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	7	3	4	5	5	7	7	2	3	0	0	4	2	0	55

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Gebiet ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.
2. Die Sinusreihe.
3. Ein diskreter Bewertungsring.
4. Eine isolierte Singularität.
5. Der Hauptteil einer meromorphen Funktion auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ in einem Punkt ${}P\in U$.
6. Die Windungszahl um ${}a$ zu einem stetigen, stückweise stetig differenzierbaren Weg

   $\gamma \colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{a\}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Holomorphie und antiholomorphe Ableitung.
2. Die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
3. Der Identitätssatz für holomorphe Abbildungen.

Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen ${}z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$, die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form

$\alpha \cdot {\frac {z+\beta }{{\overline {\beta }}z+1}}$

mit ${}\vert {\alpha }\vert =1$ und ${}\vert {\beta }\vert \neq 1$ gebracht werden können.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die antiholomorphe Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ die Produktregel

${}{\frac {\partial (fg)}{\partial {\overline {z}}}}=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,$

erfüllt.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Zu Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}{\text{ mit }}d_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{k}b_{j}+\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}b_{k}$

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

1. Zeige, dass jedes Produkt ${}a_{i}b_{j}$ genau zu einem ${}d_{k}$ beiträgt.
2. Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine auf ${}U{\left(0,R\right)}$ konvergente Potenzreihe und sei ${}b\in U{\left(0,R\right)}$ ein Punkt derart, dass die umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}b$ die Nullreihe sei. Zeige, dass dann auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.

Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

   ${}f(x)=x^{2}\,$

   im Entwicklungspunkt ${}1$.

2. Es sei

   ${}g(y)={\sqrt {y}}\,$

   und es sei

   ${}b_{0}+b_{1}(y-1)+b_{2}(y-1)^{2}+\ldots =\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(y-1)^{k}\,$

   die Taylorreihe zu ${}g$ im Entwicklungspunkt ${}1$. Bestimme die Koeffizienten ${}b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ aus der Gleichung

   ${}g(f(x))=x\,.$

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,c]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{3}),$

(mit $c\geq 1$) und

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{3},u^{2}+v^{2},u^{-1}v^{-1}),$

und die Differentialform

${}\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$ in Abhängigkeit von ${}c$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine diskrete Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {C} }$, die nicht abgeschlossen ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Ort, wo die Laurent-Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }z^{-n}$ konvergiert und welche Funktion sie darstellt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes trivial ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Es sei

${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

(mit einer Konstanten ${}a\neq 0$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}U$. Zeige, dass dann

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,$

gilt.

Aufgabe (0 Punkte)