Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/15/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 1 1 3 8 5 2 5 2 2 6 2 4 4 2 4 1 5 1 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Teilmenge einer Menge .
  2. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  3. Ein neutrales Element zu einer Verknüpfung
  4. Eine kommutative Gruppe.
  5. Ein angeordneter Körper.
  6. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .


Lösung

  1. Man sagt, dass die Menge eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.
  2. Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .

  3. Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

    gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  4. Eine Gruppe heißt kommutativ, wenn

    für alle gilt.

  5. Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung“ auf gibt, die die beiden Eigenschaften
    1. Aus folgt (für beliebige )
    2. Aus und folgt (für beliebige )

    erfüllt.

  6. Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Zifferndarstellung natürlicher Zahlen.
  2. Der Satz über die Charakterisierung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des größten gemeinsamen Teilers von zwei positiven natürlichen Zahlen mit der Hilfe von -Exponenten.
  3. Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.


Lösung

  1. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen und mit und mit (außer bei ) mit der Eigenschaft
  2. Es seien und positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen und . Dann ist

    und

  3. Es seien natürliche Zahlen mit positiv und es seien , , und , , die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gibt es ein und ein mit derart, dass für die Ziffern mit die Beziehung
    gilt.


Aufgabe (1 Punkt)

Wie oft sagt man „bitte“, wenn man dreimal „bitte, bitte, bitte“ sagt.


Lösung

Man sagt - mal „bitte“.


Aufgabe (1 Punkt)

Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung (sie wohnt allein) verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie

  1. Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen.
  2. Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen.
  3. Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen.

Was ist am schlimmsten?


Lösung

(1) und (3) sind jedenfalls nicht schlimm, da Petra die Schlüssel hat und daher direkt die vergessenen Sachen holen kann. Bei (2) hat sie dagegen ein Problem, wenn sie zurückkommt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung „Vereinigung“ auf der Potenzmenge .


Lösung

Die Menge sei , die Potenzmenge ist dann

Die Verknüpfungstabelle für die Vereinigung ist


Aufgabe (8 (2+1+1+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Differenz von ganzen Zahlen als eine Verknüpfung

  1. Erstelle die möglichen Klammerungen für die Differenz von vier ganzen Zahlen .
  2. Welche Klammerung verbirgt sich üblicherweise hinter dem Ausdruck ?
  3. Welches Ergebnis könnte für Kinder bei verlockend sein?
  4. Schreiben sie die Möglichkeiten aus (1) als eine Addition von eventuell negativ genommenen Zahlen.
  5. Wie viele unterschiedliche Ergebnisse kann es in (1) geben?


Lösung

  1. Die Klammerungsmöglichkeiten sind
  2. Den Term baut man von links nach rechts ab, er bedeutet also .
  3. Verlockend ist wohl eine Klammerung, bei der schnell viel wegfällt, also
  4. Es ist
  5. Aus der Darstellung unter (4) kann man sehen, dass die zweite und die vierte Klammerung stets zum gleichen Ergebnis führen. Wir behaupten, dass ansonsten die Ergebnisse auseinanderfallen können. Sei dazu , und . Dann ergeben sich der Reihe nach die Ergebnisse


Aufgabe (5 Punkte)

Sei eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge und der Produktmenge .


Lösung

Wir betrachten die Abbildungen

und

und behaupten, dass diese beiden Abbildungen zueinander invers sind. Die Verknüpfung sendet insgesamt eine Teilmenge auf

Die Inklusion

ist dabei klar. Wenn umgekehrt liegt, so ist aufgrund der Voraussetzung oder und damit ist auch . Daher ist die Identität.

Die Verknüpfung sendet insgesamt ein Paar bestehend aus Teilmengen und auf

Wir behaupten

(und entsprechend für die zweite Komponente). Dabei ist die Inklusion klar. Wenn umgekehrt ist, so ist und . Wegen und der Disjunktheit von und kann nicht zu gehören, also ist . Daher ist auch die Identität.


Aufgabe (2 Punkte)

Am Weihnachtsbaum gibt es Kerzen. Berechne die Anzahl der Reihenfolgen, wie die Kerzen angezündet werden können.


Lösung

Die Anzahl der möglichen Reihenfolgen ist . Dies ist


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Halbring .


Lösung

Seien . Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist


Aufgabe (2 Punkte)

Seien . Zeige, dass die Zahl teilt, wenn die Zahl teilt.


Lösung

Wenn die Zahl teilt, so ist

mit einer weiteren Zahl . Aufgrund der Multiplikativität des Betrages ist dann

was bedeutet, dass von geteilt wird. Wenn umgekehrt von geteilt wird, so bedeutet dies

Da gilt, bedeutet dies

also teilt die Zahl .


Aufgabe (2 Punkte)

Führe im Zehnersystem die Subtraktion

schriftlich durch.


Lösung

Es ist


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen und durch Induktion über das Maximum von und .


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über das Maximum von und , wobei wir ohne Einschränkung wählen können. Wenn das Maximum ist, so sind beide Zahlen und somit nicht teilerfremd. Wenn das Maximum ist, so ist und somit ist und eine Darstellung der . Seien nun teilerfremd, und die Aussage sei für alle Zahlenpaare, deren Maxima kleiner als sind, schon bewiesen. Dann ist , da bei die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind. Ebenso können wir ausschließen. Wir betrachten das Zahlenpaar und wollen darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Das Maximum dieses neuen Paares ist jedenfalls kleiner als . Allerdings müssen wir, damit die Induktionsvoraussetzung wirklich eingesetzt werden kann, wissen, dass auch und teilerfemd sind. Dazu führen wir einen Widerspruchsbeweis.  Nehmen wir also an, dass und nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine natürliche Zahl , die sowohl als auch teilt. Dies bedeutet wiederum, dass es natürliche Zahlen mit und gibt. Doch dann ist

ebenfalls ein Vielfaches von , im Widerspruch zur Teilerfremdheit von und .  Die Induktionsvoraussetzung ist also auf und anwendbar und somit gibt es ganze Zahlen mit

Dann ist aber auch

und wir haben eine Darstellung der mit und gefunden.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Zeige, dass das Produkt von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von geteilt wird.


Lösung

Es ist

Da der Binomialkoeffizient eine ganze Zahl ist, folgt, dass das Produkt der aufeinanderfolgenden Zahlen von geteilt wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?


Lösung

Die Anteile stimmen überein. Die Weinmenge sei jeweils zu normiert und die Größe des kleineren Glases sei . Nach dem ersten Umfüllen befindet sich im Rotweinglas Rotwein (und kein Weißwein) und im Weißweinglas Weißwein und Rotwein. Im Weißweinglas beträgt der Weißweinanteil und der Rotweinanteil . Daher wird beim zweiten Umfüllen Weißwein und Rotwein transportiert. Der Weißweinanteil im Weißweinglas ist somit zum Schluss

und der Rotweinanteil im Rotweinglas ist


Aufgabe (2 Punkte)

Eine Termitenkönigin legt Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang. Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?


Lösung

Es sind

Eier.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der Ungleichung


Lösung

Es ist

Bei positivem führt die Bedingung

auf

bzw.

Dies ist für

erfüllt. Für negatives schreiben wir

mit positiv. Die Bedingung

bedeutet dann

und ist für jedes (positive) erfüllt, da links eine positive rationale Zahl steht. Insgesamt ist die Ungleichung also für alle ganzen Zahlen erfüllt.


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne die Gaußklammer von .


Lösung

Es ist

und

daher ist

also ist


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

  1. Bestimme die Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche und größer als sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf.
  2. Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen und (einschließlich).


Lösung

Ein Stammbruch ist genau dann auch ein Dezimalbruch, wenn er von der Form mit ist.

  1. Oberhalb von sind dies
  2. Wir zählen, wie viele der Brüche mindestens gleich sind, bzw., wie viele ganze Zahlen der Form zwischen und liegen. Dabei gehen wir so vor, dass wir die Potenz der festlegen und dann schauen, mit welchen Zweierpotenzen man das noch multiplizieren kann. Bei ist die maximale Zweierpotenz , von dieser Art gibt es also zehn Zahlen. Bei ist die maximale Zweierpotenz , von dieser Art gibt es also acht Zahlen. Bei ist und die maximale Zweierpotenz ist , von dieser Art gibt es also sechs Zahlen. Bei ist und die maximale Zweierpotenz ist , von dieser Art gibt es also vier Zahlen. Bei ist und die maximale Zweierpotenz ist , von dieser Art gibt es also noch eine Zahl. Insgesamt gibt es also im angegebenen Bereich Stammbrüche, die zugleich Dezimalbrüche sind.


Aufgabe (1 Punkt)

Negiere die Aussage, dass eine Folge in einem angeordneten Körper gegen konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.


Lösung

Es gibt ein mit der Eigenschaft, dass es für alle ein

derart gibt, dass

ist.