Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/21/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 5 0 4 2 0 0 3 0 2 1 1 1 2 5 7 3 0 44




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine endliche Menge mit Elementen.
  2. Der Graph zu einer Abbildung .
  3. Das kleinste gemeinsame Vielfache zu einer Menge von natürlichen Zahlen
  4. Die Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen.
  5. Ein Körper.
  6. Die Gaußklammer einer rationalen Zahl .


Lösung

  1. Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

    gibt.

  2. Man nennt

    den Graphen der Abbildung .

  3. Die Zahl heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der , wenn ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen der das Kleinste ist.
  4. Unter dem Nachfolger einer ganzen Zahl versteht man die Zahl

    wobei den Nachfolger auf und den Vorgänger auf bezeichnet.

  5. Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt .
  6. Zu einer rationalen Zahl ist die Gaußklammer durch

    definiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Im -Land gibt es Münzen zum Nennwert (mit ). Zeige, dass die minimale Darstellung eines Geldbetrages im Allgemeinen nicht eindeutig ist.


Lösung

Es sind

zwei Darstellungen des Betrages , die beide Münzen verwenden (und verschieden sind). Es ist zu zeigen, dass diese minimal sind, dass es also keine Darstellung von mit weniger als Münzen gibt. Dies ist aber klar, da der höchste Münzwert gleich ist und der höchste mit Münzen zu erzielende Betrag gleich

ist.


Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

  1. Löse das folgende Minisudoku
  2. Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
  3. Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?


Lösung

  1. Wir gehen von

    aus. In der dritten Stelle der zweiten Zeile muss eine sein und somit muss rechts oben eine stehen. Dies ergibt

    An der vierten Stelle der dritten Zeile muss eine stehen. In der vierten Zeile muss an der dritten Stelle eine und somit in der vierten Zeile an der ersten Stelle eine stehen. Dies ergibt

    Dies erzwingt

    An der zweiten Stelle der ersten Zeile muss eine stehen, dies ergibt dann die eindeutige Lösung

    1. Direkter Beweis: Durch Betrachten der schon gefundenen Zahlen erschließt man, welche Zahl in ein bestimmtes Feld gesetzt werden muss.
    2. Beweis durch Fallunterscheidung: Man weiß, dass in einem gewissen Feld nur noch zwei Zahlen, sagen wir oder möglich sind. Wenn man nun in beiden Fällen, dass es sich um oder um handelt, jeweils erschließen kann, dass in einem bestimmten anderen Feld die Zahl stehen muss, so steht diese Zahl fest.
    3. Beweis durch Widerspruch: Man weiß, dass in einem gewissen Feld nur noch zwei Zahlen, sagen wir oder möglich sind. Man nimmt nun an, dass es sich um handelt. Wenn man nun erschließen kann, dass sich daraus an irgendeiner Stelle ein Widerspruch ergibt, so kann die Belegung durch nicht gelten und ist richtig.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,


Lösung

  1. Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle auf abgebildet werden soll, aber nicht zur Wertemenge gehört.
  2. Das ist keine Abbildung, da laut Wertetabelle einerseits auf und andererseits auf abgebildet werden soll.
  3. Das ist keine Abbildung, da die Wertetabelle keinen Wert für festlegt.
  4. Das ist eine Abbildung. Sie ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.


Aufgabe (2 Punkte)

In die Klasse kommt ein neues Kind. Es stellt sich heraus, dass es auf die Frage, ob oder ob größer ist, keine Antwort weiß. Die Lehrkraft möchte genauer wissen, was das Kind über die Ordnung weiß oder nicht weiß, um es besser fördern zu können. Betrachte die folgenden möglichen Nachfragen der Lehrkraft.

  1. „Weißt du, ob oder ob größer ist?“
  2. „Weißt du, ob oder ob größer ist?“
  3. „Weißt du, ob oder ob größer ist?“
  4. „Weißt du, ob oder ob größer ist?“
  5. (nachdem die Lehrkraft zwei Mengen mit unterschiedlich vielen Plättchen hingelegt hat) „Welche der beiden Mengen ist größer?“

An welchem mathematischen Sachverhalt orientiert sich vermutlich die Lehrkraft bei den einzelnen Nachfragen?


Lösung N/Ordnung/Diagnose/Hintergrund/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung

eine möglichst natürliche Zerlegung dieser Körperteile in Teilmengen mit je Elemente an.


Lösung

Hier nimmt man die 20 Einzelfinger bzw. Einzelzehen als einelementige Mengen.

Die natürlichste Zerlegung in zweielementige Teilmengen (Paare) ist wohl die in zwei Zehen, zwei Zeigefinger, zwei Mittelfinger, zwei Ringfinger, zwei kleine Finger und entsprechend die Zehenpaare der Füße.

Die natürlichste Zerlegung dieser Körperteile in Teilmengen mit je Elemente ist wohl die, bei der die Daumen zusammen mit den großen Zehen, die Zeigefinger und die Zeigezehen, die Mittelfinger und die Mittelzehen, die Ringfinger und die Ringzehen, sowie die kleinen Finger und kleinen Zehen eine Teilmenge bilden.

Hier nimmt man die einzelnen Hände (also die Finger, die dran hängen) bzw. Füße als Teilmengen.

Hier nimmt man einerseits alle Finger und andererseits alle Zehen als Teilmengen (man könnte auch die linke und die rechte Hälfte nehmen).

Die Gesamtmenge aller Finger und Zehen.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.


Lösung

Es ist

und

und somit

Andererseits ist


Aufgabe (1 Punkt)

Es seien Elemente in einem kommutativen Halbring . Berechne


Lösung

Nach dem Distributivgesetz ist


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Lösung

Es ist


Aufgabe (1 Punkt)

Betrachte die Gleichungskette

Welche Gleichungen sind korrekt, welche nicht?


Lösung

Es sind alle Gleichungen bis auf die allerletzte korrekt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei die Nachfolgerabbildung, die Vorgängerabbildung und die Negationsabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne


Lösung

Die Auswertung dieser Hintereinanderschaltung ergibt der Rehie nach

das Ergebnis ist also .


Aufgabe (5 (0.5+0.5+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten auf die Verknüpfung

  1. Was bedeutet die Verknüpfung für einstellige Ziffern?
  2. Ist die Verknüpfung kommutativ?
  3. Ist die Verknüpfung assoziativ?
  4. Gelten die Distributivgesetze

    und

  5. Es bezeichne nun zu das Symbol diejenige Zahl im Dezimalsystem, die aus Einsen besteht. Zeige


Lösung

  1. Dem Paar zu einstelligen Zahlen wird die Zahl im Dezimalsystem zugeordnet.
  2. Die Verknüpfung ist nicht kommutativ, da und ist.
  3. Es ist

    und

    die Verknüpfung ist also nicht assoziativ.

  4. Es ist

    und

    sowie

    und

    die Distributivgesetze gelten also beide nicht.

  5. Es ist


Aufgabe (7 (1+3+3) Punkte)

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen , , entsteht ( ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

  1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
  2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls , , ausdrückt.
  3. Es gibt genau eine rationale Zahl , die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.


Lösung

  1. Das zweite Intervall ist .
  2. Die -te untere Intervallgrenze ist

    und die -te obere Intervallgrenze ist entsprechend, da das -te Intervall die Länge besitzt,

    Die Formel für beweist man durch Induktion über , bei ist sie richtig (bei auch, da die leere Summe als zu interpretieren ist). Zum Nachweis des Induktionsschrittes kann man vom Intervall

    ausgehen. Die Länge des Folgeintervalls ist ein Zehntel davon, also , und da man das achte nehmen muss, muss man zur alten unteren Grenze dazuaddieren.

  3. Wir behaupten

    Wenn man nämlich die schriftliche Division durchführt, so erhält man wegen

    dass sämtliche Dezimalziffern nach dem Komma gleich sind. Nach Lemma 28.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) ist daher

    Dies bedeutet genau die Zugehörigkeit zu den angegebenen Intervallen.


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere, warum die Formulierung „Die teilt die , man kann die aber nicht durch die teilen“ sich zwar paradox anhört, aber korrekt ist.


Lösung Teilen/0/Paradoxe Formulierung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung