Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/23/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 0 1 0 5 2 1 1 3 6 1 2 2 3 7 1 4 3 3 51




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Die Assoziativität einer Verknüpfung
  3. Eine Primzahl.
  4. Ein Ring .
  5. Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen .
  6. Ein Dezimalbruch.


Lösung

  1. Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .

  2. Eine Verknüpfung

    heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  3. Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.
  4. Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt und .
  5. Eine natürliche Zahl heißt gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt für .
  6. Ein Dezimalbruch ist eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Wertetabelle, die für jede natürliche Zahl von bis ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.


Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch teilbar ist.

  1. Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
  2. Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.


Lösung

Eine ungerade natürliche Zahl besitzt die Form mit einer natürlichen Zahl . Vier aufeinanderfolgende Zahlen sind damit .

  1. Induktionsbeweis: Für geht es um

    was durch teilbar ist. Sei nun die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit ein Vielfaches der . Es ist zu zeigen, dass dies auch für die Vierersumme der aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beginnend mit gilt. Es ist

    so dass diese Zahl wieder ein Vielfaches der ist.

  2. Es ist
    so dass ein Vielfaches der vorliegt.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Integritätseigenschaft für die natürlichen Zahlen.


Lösung

Wir zeigen, dass mit auch das Produkt von verschieden ist. Das Produkt ist

und hier steht mindestens ein Summand. Aus Fakt ***** und folgt, dass diese Summe nicht ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht und Old Shatterhand sieht Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?


Lösung

Es gibt

Sternschnuppen, die beide sehen. Daher sieht Winnetou von den von Old Shatterhand gesehenen Sternschnuppen

nicht.


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne


Lösung

Insgesamt stehen da Minuszeichen, also ist das Ergebnis gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, für welche der Binomialkoeffizient

eine Primzahl ist.


Lösung

Für ist

keine Primzahl. Für ist

eine Primzahl. Wir behaupten, dass für der Binomialkoeffizient

keine Primzahl ist. Wenn nämlich gerade ist, so ist gerade und es ist

und beide Faktoren sind , also liegt eine echte Faktorzerlegung vor. Wenn ungerade ist, so ist

und wieder sind beide Faktoren , also liegt eine echte Faktorzerlegung vor.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit

gibt.


Lösung

Zur Existenz. Bei ist eine Lösung. Sei positiv. Da positiv ist, gibt es ein Vielfaches . Daher gibt es auch eine Zahl mit und . Sei . Dann ist

und daher ist wie gewünscht. Bei negativ kann man schreiben nach dem Resultat für positive Zahlen. Daraus ergibt sich

Im zweiten Fall erfüllen und die Bedingungen.
Zur Eindeutigkeit. Sei , wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung . Dann gilt . Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als , links steht aber ein Vielfaches von , so dass die Differenz sein muss und die beiden Darstellungen überein stimmen.


Aufgabe (1 Punkt)

In einem mathematischen Text steht „“. Welche Bedeutungen könnten damit gemeint sein?


Lösung Mathematischer Text/Gleichung/Bedeutung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.


Lösung

  1. Formel (für oder in einer Gruppe),
  2. Bedingungsgleichung,
  3. Elementgleichung,
  4. Definitionsgleichung unter der Voraussetzung .


Aufgabe (2 Punkte)

Es bezeichne die Nachfolgerabbildung und die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Begründe die Umlegungsregel

unter Bezug auf das Assoziativgesetz der Addition.


Lösung Ganze Zahlen/Addition/Umlegungsregel/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung
  2. Zeige, dass

    eine Lösung für die Gleichung

    ist.


Lösung

  1. ist eine ganzzahlige Lösung.
  2. Es ist


Aufgabe (7 (3+4) Punkte)

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge (das Einheitsquadrat) wird als festgelegt.

  1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
  2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt.


Lösung

  1. Wir betrachten Quadrate mit Seitenlänge . Wir legen -mal jeweils Quadrate in eine Reihe hintereinander und erhalten dadurch Rechtecke, die jeweils die Seitenlängen und haben und aus Quadraten bestehen. Diese Rechtecke setzt man derart zusammen, dass die -Seiten der Rechtecke aneinander liegen. Dadurch entsteht insgesamt ein Rechteck mit den Seitenlängen und . Da alle Quadrate verbraucht sind, ist der Flächeninhalt gleich . Man verwendet dabei, dass der Flächeninhalt der Quadrate sich nicht ändert, wenn sie ihre Lage in der Ebene ändern, und dass die Überschneidung der Kanten, die beim Zusammenlegen auftritt, für den Flächeninhalt unerheblich ist.
  2. Es sei unter Verwendung eines Hauptnenners und . Es ist

    Wie in Teil 1 können wir das Rechteck mit den Seitenlängen und mit Quadraten der Seitenlänge zusammensetzen. Daher ist der Flächeninhalt des Rechtecks das -Vielfache des Flächeninhaltes des Quadrates mit der Seitenlänge . Wenn wir solche Quadrate haben, so können wir diese zum Einheitsquadrat zusammen setzen. Daher muss wiederum der Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge gleich sein. Der Flächeninhalt des Ausgangsrechtecks ist also

    und stimmt mit dem Produkt der Seitenlängen überein.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde eine natürliche Zahl derart, dass

ist.


Lösung

Man kann nehmen. Es ist nämlich


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

  1. Durch welche ganze Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?
  2. Durch welche rationalen Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?


Lösung

  1. Man kann durch alle ganzen Zahlen der Form mit innerhalb der Dezimalbrüche dividieren. Eine solche Division ist ja die Multiplikation mit

    und da dies ein Dezimalbruch ist, ist das Produkt auch ein Dezimalbruch. Wenn hingegen eine ganze Zahl ist, in deren Primfaktorzerlegung eine von und verschiedene Primzahl vorkommt, so kann man dadurch nicht dividieren, da ja in diesem Fall schon kein Dezimalbruch ist.

  2. Man kann durch alle rationalen Zahlen der Form mit innerhalb der Dezimalbrüche dividieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper , die in einem größeren angeordneten Körper

nicht konvergiert.


Lösung

Die Folge der Stammbrüche , konvergiert in gegen . Es gibt aber nichtarchimedisch angeordnete Körper . In einem solchen nichtarchimedisch angeordneten Körper konvergiert diese Folge nicht, da es dort positive gibt, die kleiner als jeder Stammbruch sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen der Abziehregel und der Kürzungsregel auf .


Lösung Abziehregel/Kürzungsregel/Vergleich/Aufgabe/Lösung