Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/9/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 3 1 3 2 2 3 2 5 2 8 4 4 2 5 2 4 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Kontraposition zu einer Implikation .
  2. Eine injektive Abbildung
  3. Die -te Potenz zu einer natürlichen Zahl .
  4. Die Potenzmenge zu einer Menge .
  5. Die Größergleichrelation auf den ganzen Zahlen.
  6. Eine rationale Zahl.


Lösung

  1. Zur Implikation heißt die Implikation die Kontraposition.
  2. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  3. Unter der -ten Potenz von versteht man die -fache Multiplikation von mit sich selbst

    ( Faktoren).

  4. Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von .
  5. Die Größergleichrelation ist durch

    wenn es eine natürliche Zahl mit

    gibt, festgelegt.

  6. Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

    wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eindeutigkeit der Addition auf einem Peano-Modell.
  2. Der Satz über die Verträglichkeit der Größergleichrelation auf mit der Addition und mit der Multiplikation.
  3. Das Lemma von Euklid.


Lösung

  1. Auf den natürlichen Zahlen gibt es genau eine Verknüpfung

    mit

  2. Die Verträglichkeit mit der Addition besagt: Es ist

    genau dann, wenn

    ist.

    Die Verträglichkeit mit der Multiplikation besagt: Aus

    folgt

  3. Es sei eine Primzahl und teile ein Produkt von natürlichen Zahlen . Dann teilt einen der Faktoren.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck

allgemeingültig ist


Lösung

Wir müssen zeigen, dass für jede Wahrheitsbelegung der Variablen der Wahrheitswert der Gesamtaussage gleich ist. Bei ist und damit ist der Nachsatz und die Gesamtaussage wahr. Sei also im Folgenden . Dann ist . Bei ist der Vordersatz falsch und somit die Gesamtaussage wahr. Sei also . Dann ist der Vordersatz wahr und wir müssen zeigen, dass auch der Nachsatz wahr ist. Es ist dann und , also ist auch in diesem Fall der Nachsatz und die Gesamtaussage wahr.


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus folgt “.


Lösung

Man möchte zeigen, dass aus einer Aussage eine weitere Aussage folgt. Beim Beweis durch Widerspruch nimmt man an, dass gleichzeitig und nicht gelten. Unter diesen Voraussetzungen zeigt man, dass sich ein Widerspruch ergibt. Dies bedeutet, dass und nicht nicht gleichzeitig gelten können, was eben die Implikation bedeutet.


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Lösung

  1. Es ist
  2. Die Verknüpfung besitzt kein neutrales Element, da die Leitzeile in der Verknüpfungstabelle nicht als Ergebniszeile wiederkehrt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Mengen und und surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls surjektiv ist.


Lösung

Sei gegeben. Aufgrund der Surjektivität von gibt es ein mit

Aufgrund der Surjektivität von gibt es ein mit

Insgesamt ist

es gibt also ein Urbild von und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ) stets eine Quadratzahl ist.


Lösung

Eine ungerade Zahl hat die Form , die Summe der ersten ungeraden Zahlen ist also gleich

Wir behaupten, dass dies gleich ist. Für ist die Aussage richtig, da die Summe gleich ist. Sei die Aussage nun für ein schon bewiesen. Dann ist


Aufgabe (2 Punkte)

Finde die kleinste natürliche Zahl , die sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl ist.


Lösung

Die Antwort ist

Die Kubikzahlen unterhalb davon sind , die bis auf keine Quadratzahl sind, und ist von vornherein ausgeschlossen.


Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

Ein Cocktailmixer verfügt über zwei Verarbeitungstechniken, nämlich schütteln und rühren, wobei in jedem Arbeitsgang stets zwei Grundzutaten bzw. Zwischenprodukte miteinander verarbeitet werden. Bei jedem Cocktail wird jede Grundzutat bei genau einem Arbeitsvorgang verarbeitet (wobei die dabei entstehenden Zwischenprodukte weiterverarbeitet werden können). Als Grundzutaten stehen Orangensaft, Zitronensaft, Pfefferminzblätter und Rum zur Verfügung.

  1. Beschreibe die Zubereitung eines Cocktails, so dass jede Verarbeitungstechnik mindestens einmal vorkommt.
  2. Auf wie viele Arten kann er aus den Zutaten einen Cocktail mixen?


Lösung

  1. Eine Möglichkeit ist, zuerst den Rum mit dem Zitronensaft zusammen schütteln, dieses Zwischenprodukt mit den Pfefferminzblättern zusammen rühren und dieses Zwischenprodukt mit dem Orangensaft zusammen schütteln.
  2. Für die Verarbeitung gibt es grundsätzlich die beiden skizzierten Verarbeitungsbäume.
    Baum1.png
    Baum2.png

    An den äußeren „Blättern“ gehen die Grundzutaten ein, und an jeder Vereinigungstelle kann geschüttelt oder gerührt werden. Betrachten wir zunächst den linken Verarbeitungsbaum. Da die Situation symmetrisch ist, kann man ohne Einschränkung sagen, dass eine fixierte Zutat (beispielsweise der Orangensaft) im linken Paar verarbeitet wird. Daher gibt es im Wesentlichen drei Möglichkeiten, wie die Zutaten paarweise aufgeteilt werden. Für jede Zutatenaufteilung kann man sich in jedem Verarbeitungsschritt entscheiden, ob man schüttelt oder rührt. Somit gibt es Möglichkeiten im linken Verarbeitungsbaum.

    Betrachten wir nun den rechten Verarbeitungsbaum. Es gibt zweielementige Teilmengen und somit sechs Auswahlmöglichkeiten für das zuerst zu verarbeitende Zutatenpaar. Für die mit dem daraus resultierenden Zwischenprodukt zu verarbeitende Zutat gibt es jeweils zwei Möglichkeiten, also gibt es Möglichkeiten für die Zutatenreihenfolge. Unter Berücksichtigung der Verarbeitungstechniken gibt es hier somit . Insgsamt gibt es also mögliche Cocktails.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?


Lösung

Es gilt generell die Zerlegung

Bei sind beide Faktoren und daher kann nicht prim sein. Bei ist

eine Primzahl. Bei liegt keine Primzahl vor.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Vergleichssatz für Zahlen im Zehnersystem.


Lösung

Bei

ist nach Fakt *****

Sei also . Es sei die größte Stelle, an der die Ziffern verschieden sind, d.h. es sei

Aufgrund der Verträglichkeit der Ordnungsbeziehung mit der Addition können wir

beidseitig abziehen, d.h. wir können annehmen, dass und ist und wir müssen zeigen, dass

genau dann gilt, wenn

ist. Hierbei müssen wir wegen der Symmetrie der Situation nur die Rückrichtung zeigen. Es ist

wobei wir im vorletzten Schritt wieder Fakt ***** verwendet haben.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge und sei

Zeige, dass

ist.


Lösung

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass es zwischen zwei endlichen Mengen und , die beide Elemente besitzen, bijektive Abbildungen gibt. Dies zeigen wir durch Induktion nach , wobei der Fall klar ist. Die Aussage sei nun für schon bewiesen und es liegen zwei -elementige Mengen und vor. Es sei ein fixiertes Element. Dann gibt es für die Bilder genau Möglichkeiten, nämlich die Anzahl der Menge . Wenn dies festgelegt ist, so entsprechen die bijektiven Abbildungen von nach mit

den bijektiven Abbildungen von nach . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es solche bijektiven Abbildungen. Daher ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen zwischen und gleich


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Berechne im Vierersystem, im Fünfersystem und im Zehnersystem.
  2. Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis rechts unten die Zahl mit den Ziffern und steht.


Lösung

  1. Es ist in den jeweiligen Systemen

    und

  2. Im kleinen Einmaleins steht rechts unten das Produkt der höchsten einstelligen Ziffer mit sich selbst, also . Nach der zweiten binomischen Formel ist dies

    Wegen ist die Ziffernentwicklung dieser Zahl gerade .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Exponenten zu von .


Lösung

Es ist

Wegen

ist nicht durch teilbar, also ist der Exponent zu von gleich .


Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Lösung

  1. Lucy benötigt Sekunden für den Meter langen Zug.
  2. In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von

    Da die beiden Bewegungen sich überlagern, aber in umgekehrter Richtung ausgerichtet sind, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich Meter pro Sekunde.

  3. In den Sekunden legt der Zug

    Meter zurück.

  4. Man kann von der vom Zug zurückgelegten Strecke die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke subtrahieren, dies ergibt

    Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls

    Meter.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn gilt.


Lösung

Wenn ist, so folgt daraus durch Multiplikation mit die Abschätzung

und durch Multiplikation mit auch

woraus sich insgesamt

ergibt.

Sei nun

vorausgesetzt. Wenn

gelten würde, so würde sich mit der Hinrichtung direkt

ergeben, also insgesamt

Wegen folgt daraus

ein Widerspruch.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.


Lösung

Es sei . Da ganze Zahlen sind, ist ganzzahlig. Damit gilt

Sei nun mit . Aus der definierenden Beziehung

folgt

daher muss

sein. Somit ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

die dritte Nachkommaziffer.


Lösung

Wir müssen die Zahl dreimal hintereinander halbieren. Beim Halbierungsvorgang hängt die -te Ziffer gemäß Fakt *****

nur von der -ten und der -ten Ziffer der zu halbierenden Zahl ab. Für die Berechnung der dritten Nachkommastelle des achten Anteils sind also nur die Ziffern relevant. Wir müssen also nur
achteln. Die Hälfte davon ist nach dem Algorithmus gleich

(die Ziffern ab der vierten Nachkommastelle muss man nicht ausrechnen)

die Hälfte davon ist

die Hälfte davon ist

die dritte Nachkommaziffer der Achtelung ist also .


Aufgabe (3 Punkte)

Im Bruch

sind Zähler und Nenner im Fünfersystem gegeben. Rechne ihn ins Zehnersystem um.


Lösung

Es ist

Diese Darstellung ist gekürzt.