Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/9/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	3	1	3	2	2	3	2	5	2	4	4	4	2	5	2	4	4	3	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Kontraposition zu einer Implikation ${}\alpha \rightarrow \beta$.
2. Die Potenzmenge zu einer Menge ${}M$.
3. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

4. Die ${}n$-te Potenz zu einer natürlichen Zahl ${}a$.
5. Die Größergleichrelation auf den ganzen Zahlen.
6. Eine rationale Zahl.

Lösung

1. Zur Implikation ${}\alpha \rightarrow \beta$ heißt die Implikation ${}\neg \beta \rightarrow \neg \alpha$ die Kontraposition.
2. Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$.
3. Die Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,y\in L$ auch ${}f(x)$ und ${}f(y)$ verschieden sind.

4. Unter der ${}n$-ten Potenz von ${}a$ versteht man die ${}n$-fache Multiplikation von ${}a$ mit sich selbst

   $a\cdot a\cdots a\cdot a$

   (${}n$ Faktoren).

5. Die Größergleichrelation ist durch

   ${}a\geq b\,,$

   wenn es eine natürliche Zahl ${}n$ mit

   ${}a=b+n\,$

   gibt, festgelegt.

6. Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

   ${\frac {a}{b}},$

   wobei ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und ${}b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn ${}ad=bc$ (in ${}\mathbb {Z}$) gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Eindeutigkeit der Addition auf einem Peano-Modell.
2. Der Satz über die Verträglichkeit der Größergleichrelation ${}\geq$ auf ${}\mathbb {N}$ mit der Addition und mit der Multiplikation.
3. Das Lemma von Euklid.

Lösung

1. Auf den natürlichen Zahlen gibt es genau eine Verknüpfung

   $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$

   mit

   $x+0=x{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} \,\,{\text{ und }}\,\,x+y'=(x+y)'{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N} .$

2. Die Verträglichkeit mit der Addition besagt: Es ist

   ${}a\geq b\,$

   genau dann, wenn

   ${}a+c\geq b+c\,$

   ist.

   Die Verträglichkeit mit der Multiplikation besagt: Aus

   ${}a\geq b\,$

   folgt

   ${}ca\geq cb\,.$

3. Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}p$ teile ein Produkt ${}ab$ von natürlichen Zahlen ${}a,b\in \mathbb {N}$. Dann teilt ${}p$ einen der Faktoren.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck

${\left(r\rightarrow {\left(p\wedge \neg q\right)}\right)}\rightarrow {\left(\neg p\rightarrow {\left(\neg r\vee q\right)}\right)}$

allgemeingültig ist

Lösung

Wir müssen zeigen, dass für jede Wahrheitsbelegung ${}\lambda$ der Variablen ${}r,p,q$ der Wahrheitswert der Gesamtaussage gleich ${}1$ ist. Bei ${}\lambda (p)=1$ ist ${}\lambda (\neg p)=0$ und damit ist der Nachsatz und die Gesamtaussage wahr. Es sei also im Folgenden ${}\lambda (p)=0$. Dann ist ${}\lambda (p\wedge \neg q)=0$. Bei ${}\lambda (r)=1$ ist der Vordersatz falsch und somit die Gesamtaussage wahr. Es sei also ${}\lambda (r)=0$. Dann ist der Vordersatz wahr und wir müssen zeigen, dass auch der Nachsatz wahr ist. Es ist dann ${}\lambda (\neg r)=1$ und ${}\lambda (\neg r\vee q)=1$, also ist auch in diesem Fall der Nachsatz und die Gesamtaussage wahr.

Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Lösung

Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus ${}A$ folgt ${}B$“.

Lösung

Man möchte zeigen, dass aus einer Aussage ${}A$ eine weitere Aussage ${}B$ folgt. Beim Beweis durch Widerspruch nimmt man an, dass gleichzeitig ${}A$ und nicht ${}B$ gelten. Unter diesen Voraussetzungen zeigt man, dass sich ein Widerspruch ergibt. Dies bedeutet, dass ${}A$ und nicht ${}B$ nicht gleichzeitig gelten können, was eben die Implikation ${}A\implies B$ bedeutet.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}c$	${}a$	${}a$	${}a$
${}b$	${}d$	${}d$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}a$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (c\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Lösung

1. Es ist

   ${}b\star (c\star (d\star a))=b\star (c\star b)=b\star b=d\,$

2. Die Verknüpfung besitzt kein neutrales Element, da die Leitzeile in der Verknüpfungstabelle nicht als Ergebniszeile wiederkehrt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Lösung

Sei ${}z\in N$ gegeben. Aufgrund der Surjektivität von ${}G$ gibt es ein ${}y\in M$ mit

${}G(y)=z\,.$

Aufgrund der Surjektivität von ${}F$ gibt es ein ${}x\in L$ mit

${}F(x)=y\,.$

Insgesamt ist

${}(G\circ F)(x)=G(F(x))=G(y)=z\,,$

es gibt also ein Urbild von ${}z$ und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ${}1$) stets eine Quadratzahl ist.

Lösung

Eine ungerade Zahl hat die Form ${}2k-1$, die Summe der ersten ${}n$ ungeraden Zahlen ist also gleich

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Wir behaupten, dass dies gleich ${}n^{2}$ ist. Für ${}n=1$ ist die Aussage richtig, da die Summe gleich ${}1=1^{2}$ ist. Es sei die Aussage nun für ein ${}n$ schon bewiesen. Dann ist

${}\sum _{k=1}^{n+1}(2k-1)=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)+2n+1=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Finde die kleinste natürliche Zahl ${}n\geq 2$, die sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl ist.

Lösung

Die Antwort ist

${}64=8^{2}=4^{3}\,.$

Die Kubikzahlen unterhalb davon sind ${}1,8,27$, die bis auf ${}1$ keine Quadratzahl sind, und ${}1$ ist von vornherein ausgeschlossen.

Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

Ein Cocktailmixer verfügt über zwei Verarbeitungstechniken, nämlich schütteln und rühren, wobei in jedem Arbeitsgang stets zwei Grundzutaten bzw. Zwischenprodukte miteinander verarbeitet werden. Bei jedem Cocktail wird jede Grundzutat bei genau einem Arbeitsvorgang verarbeitet (wobei die dabei entstehenden Zwischenprodukte weiterverarbeitet werden können). Als Grundzutaten stehen Orangensaft, Zitronensaft, Pfefferminzblätter und Rum zur Verfügung.

1. Beschreibe die Zubereitung eines Cocktails, sodass jede Verarbeitungstechnik mindestens einmal vorkommt.
2. Auf wie viele Arten kann er aus den Zutaten einen Cocktail mixen?

Lösung

1. Eine Möglichkeit ist, zuerst den Rum mit dem Zitronensaft zusammen schütteln, dieses Zwischenprodukt mit den Pfefferminzblättern zusammen rühren und dieses Zwischenprodukt mit dem Orangensaft zusammen schütteln.
2. Für die Verarbeitung gibt es grundsätzlich die beiden skizzierten Verarbeitungsbäume.

   

   

   An den äußeren „Blättern“ gehen die Grundzutaten ein, und an jeder Vereinigungstelle kann geschüttelt oder gerührt werden. Betrachten wir zunächst den linken Verarbeitungsbaum. Da die Situation symmetrisch ist, kann man ohne Einschränkung sagen, dass eine fixierte Zutat (beispielsweise der Orangensaft) im linken Paar verarbeitet wird. Daher gibt es im Wesentlichen drei Möglichkeiten, wie die Zutaten paarweise aufgeteilt werden. Für jede Zutatenaufteilung kann man sich in jedem Verarbeitungsschritt entscheiden, ob man schüttelt oder rührt. Somit gibt es ${}3\cdot 8=24$ Möglichkeiten im linken Verarbeitungsbaum.

   Betrachten wir nun den rechten Verarbeitungsbaum. Es gibt ${}{\binom {4}{2}}=6$ zweielementige Teilmengen und somit sechs Auswahlmöglichkeiten für das zuerst zu verarbeitende Zutatenpaar. Für die mit dem daraus resultierenden Zwischenprodukt zu verarbeitende Zutat gibt es jeweils zwei Möglichkeiten, also gibt es ${}12$ Möglichkeiten für die Zutatenreihenfolge. Unter Berücksichtigung der Verarbeitungstechniken gibt es hier somit ${}12\cdot 8=96$. Insgsamt gibt es also ${}24+96=120$ mögliche Cocktails.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${}n^{2}-1$ eine Primzahl?

Lösung

Es gilt generell die Zerlegung

${}n^{2}-1=(n-1)(n+1)\,.$

Bei ${}n\geq 3$ sind beide Faktoren ${}\geq 2$ und daher kann ${}n^{2}-1$ nicht prim sein. Bei ${}n=2$ ist

${}2^{2}-1=3\,$

eine Primzahl. Bei ${}n=0,1$ liegt keine Primzahl vor.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge und sei

$B={\left\{F:M\rightarrow M{\text{ Abbildung}}\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}.$

Zeige, dass

${}{\#\left(B\right)}=n!\,$

ist.

Lösung

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass es zwischen zwei endlichen Mengen ${}M$ und ${}N$, die beide ${}n$ Elemente besitzen, ${}n!$ bijektive Abbildungen gibt. Dies zeigen wir durch Induktion nach ${}n$, wobei der Fall ${}n=1$ klar ist. Die Aussage sei nun für ${}n$ schon bewiesen und es liegen zwei ${}(n+1)$-elementige Mengen ${}M$ und ${}N$ vor. Es sei ${}x\in M$ ein fixiertes Element. Dann gibt es für die Bilder ${}\varphi (x)$ genau ${}n+1$ Möglichkeiten, nämlich die Anzahl der Menge ${}N$. Wenn dies festgelegt ist, so entsprechen die bijektiven Abbildungen von ${}M$ nach ${}N$ mit

${}\varphi (x)=y\,$

den bijektiven Abbildungen von ${}M\setminus \{x\}$ nach ${}N\setminus \{y\}$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ${}n!$ solche bijektiven Abbildungen. Daher ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen zwischen ${}M$ und ${}N$ gleich

${}(n+1)\cdot n!=(n+1)!\,.$

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

1. Berechne ${}3^{2}$ im Vierersystem, ${}4^{2}$ im Fünfersystem und ${}9^{2}$ im Zehnersystem.
2. Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis ${}n\geq 3$ rechts unten die Zahl mit den Ziffern ${}n-2$ und ${}1$ steht.

Lösung

1. Es ist in den jeweiligen Systemen

   ${}3^{2}=21\,,$

   ${}4^{2}=31\,$

   und

   ${}9^{2}=81\,.$

2. Im kleinen Einmaleins steht rechts unten das Produkt der höchsten einstelligen Ziffer mit sich selbst, also ${}(n-1)(n-1)$. Nach der zweiten binomischen Formel ist dies

   ${}(n-1)(n-1)=n^{2}-2n+1=(n-2)n+1\,.$

   Wegen ${}0<n-2<n$ ist die Ziffernentwicklung dieser Zahl gerade ${}n-2\,\,\,\,\,1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}5371400$ und ${}695700$.

Lösung

Es ist offenbar ${}100$ ein gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen, deshalb bestimmen wir den größten gemeinsamen Teiler von ${}53714$ und ${}6957$. Der Euklidische Algorithmus liefert:

$53714=7\cdot 6957+5015$

$6957=1\cdot 5015+1942$

$5015=2\cdot 1942+1131$

$1942=1\cdot 1131+811$

$1131=1\cdot 811+320$

$811=2\cdot 320+171$

$320=1\cdot 171+149$

$171=1\cdot 149+22$

$149=6\cdot 22+17$

$22=1\cdot 17+5$

$17=3\cdot 5+2$

$5=2\cdot 2+1$

$2=2\cdot 1+0.$

Daher sind die beiden um ${}100$ gekürzten Zahlen teilerfremd und der größte gemeinsame Teiler der beiden Ausgangszahlen ist ${}100$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Exponenten zu ${}3$ von ${}72657$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}72657&=3\cdot 24219\\&=3^{2}\cdot 8073\\&=3^{3}\cdot 2691\\&=3^{4}\cdot 897\\&=3^{5}\cdot 299.\end{aligned}}$

Wegen

${}299=99\cdot 3+2\,$

ist ${}299$ nicht durch ${}3$ teilbar, also ist der Exponent zu ${}3$ von ${}72657$ gleich ${}5$.

Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Lösung

1. Lucy benötigt ${}25$ Sekunden für den ${}500$ Meter langen Zug.
2. In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von

   ${}{\frac {180000}{3600}}={\frac {1800}{36}}=50\,.$

   Da die beiden Bewegungen sich überlagern, aber in umgekehrter Richtung ausgerichtet sind, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich ${}30$ Meter pro Sekunde.

3. In den ${}25$ Sekunden legt der Zug

   ${}25\cdot 50=1250\,$

   Meter zurück.

4. Man kann von der vom Zug zurückgelegten Strecke die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke subtrahieren, dies ergibt

   ${}1250-500=750\,$

   Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls

   ${}25\cdot 30=750\,$

   Meter.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y\geq 0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn ${}x^{2}\geq y^{2}$ gilt.

Lösung

Wenn ${}x\geq y$ ist, so folgt daraus durch Multiplikation mit ${}y\geq 0$ die Abschätzung

${}xy\geq y^{2}\,$

und durch Multiplikation mit ${}x\geq 0$ auch

${}x^{2}\geq xy\,,$

woraus sich insgesamt

${}x^{2}\geq y^{2}\,$

ergibt.

Es sei nun

${}x^{2}\geq y^{2}\,$

vorausgesetzt. Wenn

${}x<y\,$

gelten würde, so würde sich mit der Hinrichtung direkt

${}y^{2}\geq x^{2}\,$

ergeben, also insgesamt

${}x^{2}=y^{2}\,.$

Wegen ${}x,y\geq 0$ folgt daraus

${}x=y\,,$

ein Widerspruch.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}x,y$ rationale Zahlen. Zeige, dass

${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}y=x+n$ gibt.

Lösung

Es sei ${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor$. Da ${}\left\lfloor x\right\rfloor ,\left\lfloor y\right\rfloor$ ganze Zahlen sind, ist ${}n=\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor$ ganzzahlig. Damit gilt

${}{\begin{aligned}y&=\left\lfloor y\right\rfloor +(y-\left\lfloor y\right\rfloor )\\&=\left\lfloor y\right\rfloor +(x-\left\lfloor x\right\rfloor )\\&=x+\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor \\&=x+n.\end{aligned}}$

Es sei nun ${}y=x+n$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Aus der definierenden Beziehung

${}\left\lfloor x\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x\right\rfloor +1\,$

folgt

${}\left\lfloor x\right\rfloor +n\leq x+n<\left\lfloor x\right\rfloor +n+1\,,$

daher muss

${}\left\lfloor x+n\right\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +n\,$

sein. Somit ist

${}{\begin{aligned}y-\left\lfloor y\right\rfloor &=x+n-\left\lfloor x+n\right\rfloor \\&=x+n-(\left\lfloor x\right\rfloor +n)\\&=x-\left\lfloor x\right\rfloor .\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

Lösung

Wir führen Induktion über ${}n$. Bei ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$, sodass die Aussage gilt. Es sei nun die Aussage für ${}n$ bereits bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&=(1+x)^{n}(1+x)\\&\geq (1+nx)(1+x)\\&=1+(n+1)x+nx^{2}\\&\geq 1+(n+1)x,\end{aligned}}$

da Quadrate (und positive Vielfache davon) in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

$760982393473{,}90354771045729$

die dritte Nachkommaziffer.

Lösung

Wir müssen die Zahl dreimal hintereinander halbieren. Beim Halbierungsvorgang hängt die ${}i$-te Ziffer gemäß Lemma 26.13 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))

nur von der ${}i$-ten und der ${}(i+1)$-ten Ziffer der zu halbierenden Zahl ab. Für die Berechnung der dritten Nachkommastelle des achten Anteils sind also nur die Ziffern ${}a_{0}a_{-1}a_{-2}a_{-3}$ relevant. Wir müssen also nur

$3,903$

achteln. Die Hälfte davon ist nach dem Algorithmus gleich

(die Ziffern ab der vierten Nachkommastelle muss man nicht ausrechnen)

$1,9515,$

die Hälfte davon ist

$0,97575,$

die Hälfte davon ist

$0,487875,$

die dritte Nachkommaziffer der Achtelung ist also ${}7$.

Aufgabe (3 Punkte)

Im Bruch

${\frac {3024}{1312}}$

sind Zähler und Nenner im Fünfersystem gegeben. Rechne ihn ins Zehnersystem um.

Lösung

Es ist

${}{\frac {3024}{1312}}={\frac {3\cdot 5^{3}+2\cdot 5+4}{1\cdot 5^{3}+3\cdot 5^{2}+1\cdot 5+2}}={\frac {3\cdot 125+2\cdot 5+4}{1\cdot 125+3\cdot 25+1\cdot 5+2}}={\frac {375+10+4}{125+75+5+2}}={\frac {389}{207}}\,.$

Diese Darstellung ist gekürzt.