Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/T2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	4	6	3	5	4	4	2	2	7	1	2	4	2	4	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Die Multiplikation ${}a\cdot b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$ .
Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ .
Die Differenz ${}a-b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\leq a$ .
Zwei teilerfremde natürliche Zahlen ${}a$ und ${}b$ .
Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$ .
Die Multiplikation von ganzen Zahlen.

Lösung

Das Produkt ${}a\cdot b$ ist definiert als die ${}a$ -fache Summe der Zahl ${}b$ mit sich selbst.
Die Relation ${}\preccurlyeq$ ${}\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$ .
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$ .
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$ .
Die Differenz ${}a-b$ ist diejenige natürliche Zahl ${}c$ für die ${}a=b+c$ gilt.
Die beiden natürlichen Zahlen ${}a$ und ${}b$ heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler ${}\geq 2$ besitzen.
Der Binomialkoeffizient ist durch
${}{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

definiert.
Die ganzen Zahlen haben die Form ${}\pm a$ und ${}\pm b$ mit natürlichen Zahlen ${}a,b$ . Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.
${}a\cdot b:=a\cdot b\,,$

${}a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$

${}(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$

${}(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz von Euklid über Primzahlen.
Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.

Lösung

Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$
Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$ , ${}0\leq r\leq d-1$ , mit
${}n=qd+r\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe ${}65$ und deren Produkt ${}1000$ ist.

Lösung

Die Primfaktorzerlegung von ${}1000$ ist

{}1000=2^{3}\cdot 5^{3}\,.

Die beiden gesuchten Zahlen müssen also Teiler davon sein, also von der Form ${}2^{i}5^{j}$ mit ${}i,j\leq 3$ . Da die Summe ungerade ist, besitzt die eine Zahl die Form

8\cdot 5^{j}.

Dies führt auf die ${}40$ und ${}25$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b$ und ${}a-b\geq c$ . Zeige, dass dann ${}a\geq b+c$ ist und dass

{}(a-b)-c=a-(b+c)\,

ist.

Lösung

Die Abschätzung ergibt sich aus

{}b+c\leq b+(a-b)=a\,.

Es ist

{}{\begin{aligned}((a-b)-c)+(b+c)&=(((a-b)-c)+c)+b\\&=(a-b)+b\\&=a.\end{aligned}}

Somit erfüllt ${}(a-b)-c$ die für ${}a-(b+c)$ charakteristische Eigenschaft und muss damit übereinstimmen.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl ${}n\geq 1$ die Abschätzung

{}3^{n}\geq n^{3}\,

gilt.

Lösung

Für ${}n=1,2,3$ ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für ${}n\geq 4$ wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein ${}n\geq 3$ schon bewiesen ist und haben sie für ${}n+1$ zu zeigen. Dies ergibt sich aus

{}{\begin{aligned}3^{n+1}&=3\cdot 3^{n}\\&\geq 3n^{3}\\&=n^{3}+n^{3}+n^{3}\\&\geq n^{3}+3n^{2}+3n+1\\&=(n+1)^{3},\end{aligned}}

wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung ${}n\geq 3$ und in der fünften Zeile den binomischen Lehrsatz angewendet haben.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

{}G=A\uplus B\,

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ und der Produktmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$ .

Lösung

Wir betrachten die Abbildungen

\varphi \colon {\mathfrak {P}}\,(G)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B),\,T\longmapsto (T\cap A,T\cap B),

und

\psi \colon {\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(G),\,(U,V)\longmapsto U\cup V,

und behaupten, dass diese beiden Abbildungen zueinander invers sind. Die Verknüpfung ${}\psi \circ \varphi$ sendet insgesamt eine Teilmenge ${}T\subseteq G$ auf

(T\cap A)\cup (T\cap B).

Die Inklusion

{}(T\cap A)\cup (T\cap B)\subseteq T\,

ist dabei klar. Wenn umgekehrt ${}x\in T$ liegt, so ist aufgrund der Voraussetzung ${}x\in A$ oder ${}x\in B$ und damit ist auch ${}x\in (T\cap A)\cup (T\cap B)$ . Daher ist ${}\psi \circ \varphi$ die Identität.

Die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ sendet insgesamt ein Paar ${}(U,V)$ bestehend aus Teilmengen ${}U\subseteq A$ und ${}V\subseteq B$ auf

((U\cup V)\cap A,(U\cup V)\cap B).

Wir behaupten

{}(U\cup V)\cap A=U\,

(und entsprechend für die zweite Komponente). Dabei ist die Inklusion ${}\supseteq$ klar. Wenn umgekehrt ${}x\in (U\cup V)\cap A$ ist, so ist ${}x\in A$ und ${}x\in U\cup V$ . Wegen ${}V\subseteq B$ und der Disjunktheit von ${}B$ und ${}A$ kann nicht ${}x$ zu ${}V$ gehören, also ist ${}x\in U$ . Daher ist auch ${}\varphi \circ \psi$ die Identität.

Aufgabe (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit ${}V$ (vordere Tafel), ${}M$ (mittlere Tafel) und ${}H$ (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

Lösung

Die Tafeln ${}M$ und ${}H$ sind nicht gleichzeitig sichtbar, da (mindestens) eine davon durch ${}V$ verdeckt wird. Dagegen sind sowohl ${}V$ und ${}H$ ( ${}M$ wird hinter ${}V$ geschoben) als auch ${}V$ und ${}M$ gleichzeitig einsehbar. Eine Beschreibungsreihenfolge erfüllt also genau dann die angegebene Bedingung, wenn ${}M$ und ${}H$ nicht direkt hintereinander beschrieben werden. Dies wird genau dann erreicht, wenn ${}V$ als zweite Tafel beschrieben wird. Erlaubt sind also die beiden Reihenfolgen ${}M-V-H$ und ${}H-V-M$ .

Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

Ein Cocktailmixer verfügt über zwei Verarbeitungstechniken, nämlich schütteln und rühren, wobei in jedem Arbeitsgang stets zwei Grundzutaten bzw. Zwischenprodukte miteinander verarbeitet werden. Bei jedem Cocktail wird jede Grundzutat bei genau einem Arbeitsvorgang verarbeitet (wobei die dabei entstehenden Zwischenprodukte weiterverarbeitet werden können). Als Grundzutaten stehen Orangensaft, Zitronensaft, Pfefferminzblätter und Rum zur Verfügung.

Beschreibe die Zubereitung eines Cocktails, sodass jede Verarbeitungstechnik mindestens einmal vorkommt.
Auf wie viele Arten kann er aus den Zutaten einen Cocktail mixen?

Lösung

Eine Möglichkeit ist, zuerst den Rum mit dem Zitronensaft zusammen schütteln, dieses Zwischenprodukt mit den Pfefferminzblättern zusammen rühren und dieses Zwischenprodukt mit dem Orangensaft zusammen schütteln.
Für die Verarbeitung gibt es grundsätzlich die beiden skizzierten Verarbeitungsbäume.

An den äußeren „Blättern“ gehen die Grundzutaten ein, und an jeder Vereinigungstelle kann geschüttelt oder gerührt werden. Betrachten wir zunächst den linken Verarbeitungsbaum. Da die Situation symmetrisch ist, kann man ohne Einschränkung sagen, dass eine fixierte Zutat (beispielsweise der Orangensaft) im linken Paar verarbeitet wird. Daher gibt es im Wesentlichen drei Möglichkeiten, wie die Zutaten paarweise aufgeteilt werden. Für jede Zutatenaufteilung kann man sich in jedem Verarbeitungsschritt entscheiden, ob man schüttelt oder rührt. Somit gibt es ${}3\cdot 8=24$ Möglichkeiten im linken Verarbeitungsbaum.
Betrachten wir nun den rechten Verarbeitungsbaum. Es gibt ${}{\binom {4}{2}}=6$ zweielementige Teilmengen und somit sechs Auswahlmöglichkeiten für das zuerst zu verarbeitende Zutatenpaar. Für die mit dem daraus resultierenden Zwischenprodukt zu verarbeitende Zutat gibt es jeweils zwei Möglichkeiten, also gibt es ${}12$ Möglichkeiten für die Zutatenreihenfolge. Unter Berücksichtigung der Verarbeitungstechniken gibt es hier somit ${}12\cdot 8=96$ . Insgsamt gibt es also ${}24+96=120$ mögliche Cocktails.

Aufgabe (4 Punkte)

Die Räuberbande „Robin Hood“ besteht aus fünf Personen. Sie legt für ihr Diebesgut eine Schatztruhe an, die sie mit verschiedenen Schlössern sichern möchte, wobei die (mehrfachen) Schlüssel an die Mitglieder verteilt werden sollen. Dabei soll erreicht werden, dass je zwei Bandenmitglieder allein nicht an den Schatz kommen, dass aber je drei Bandenmitglieder die Truhe aufschließen können. Wie viele Schlösser braucht man dafür und wie müssen die Schlüssel verteilt werden?

Lösung Räuberbande/Schatztruhe/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir ${}\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$ . Man betrachtet die Zahl

{}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}\ +1\,.

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen ${}p_{i}$ teilbar, da bei Division von ${}N$ durch ${}p_{i}$ immer ein Rest ${}1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von ${}N$ , die es nach Satz 12.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Rest von ${}123456789$ bei Division durch ${}9$ .

Lösung

Die folgenden Zahlen haben bei Division durch ${}9$ den gleichen Rest.

{}{\begin{aligned}123456789&\equiv 33456789\\&\equiv 6456789\\&\equiv 156789\\&\equiv 66789\\&\equiv 3789\\&\equiv 189\\&\equiv 0.\end{aligned}}

Der Rest ist also ${}0$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Führe im Dreiersystem die Addition

201021+112002

schriftlich durch.

Lösung

Es ist

\,\,\,\,\,201021

+112002

{\underline {\,\,1\,\,\,1\,\,\,11\,\,\,\,}}

\,\,1020100.

Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass das schriftliche Addieren korrekt ist.

Lösung

Die beiden Zahlen seien

m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{  und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k},

wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}k$ . Bei ${}k=0$ handelt es sich um einstellige Zahlen und der Algorithmus ist korrekt. Hierzu macht man eine Fallunterscheidung abhängig davon, ob ${}a_{0}+b_{0}<10$ ist oder nicht. Es sei die Aussage nun für beliebige Zahlen, die beide maximal ${}k+1$ Ziffern haben, bewiesen, und seien zwei maximal ${}k+2$ -stellige Zahlen gegeben. Es ist

{}{\begin{aligned}m+n&=\sum _{i=0}^{k+1}a_{i}10^{i}+\sum _{i=0}^{k+1}b_{i}10^{i}\\&=a_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}+b_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}\right)}10^{k+1}+\underbrace {\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}} _{=m'}+\underbrace {\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}} _{=n'}.\end{aligned}}

Es seien ${}c_{i},d_{i}$ die durch den für ${}m$ und ${}n$ in Verfahren 15.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) beschriebenen Algorithmus festgelegten Zahlen. Die entsprechenden Zahlen für ${}m'$ und ${}n'$ stimmen damit bis auf eventuell ${}c_{k+1},c_{k+2},d_{k+2}$ überein, da diese nur von den Ziffern bis einschließlich ${}a_{k}$ und ${}b_{k}$ abhängen. Für ${}m'+n'$ bezeichnen wir mit ${}c_{k+1}'$ die entsprechende Ziffer, und zwar ist ${}c_{k+1}'=d_{k+1}$ . Nach Induktionsvoraussetzung ist die Summe der beiden hinteren Summanden gleich

\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}+c_{k+1}'10^{k+1}.

Die Gesamtsumme ist somit gleich

{}{\begin{aligned}m+n&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}\right)}10^{k+1}+c_{k+1}'10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}+c_{k+1}'\right)}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&={\left(a_{k+1}+b_{k+1}+d_{k+1}\right)}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&=c_{k+2}10^{k+2}+c_{k+1}10^{k+1}+\sum _{i=0}^{k}c_{i}10^{i}\\&=\sum _{i=0}^{k+2}c_{i}10^{i}.\end{aligned}}

Aufgabe (1 Punkt)

Ersetze im Ausdruck

{\text{XYZUWXYZVT}}

simultan die Buchstaben ${}X$ durch ${}M$ , ${}Y$ durch ${}A$ , ${}Z$ durch ${}T$ , ${}U$ durch ${}H$ , ${}V$ durch ${}E$ , ${}W$ durch ${}I$ , ${}T$ durch ${}K$ .

Lösung

Dier Ersetzung der Buchstaben in

{\text{XYZUWXYZVT}}

führt auf

{\text{MATHIMATEK}}.

Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}3x^{2}+5x+6$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}4y^{2}+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}3{\left(4y^{2}+2y+3\right)}^{2}+5{\left(4y^{2}+2y+3\right)}+6&=3{\left(16y^{4}+4y^{2}+9+16y^{3}+24y^{2}+12y\right)}+20y^{2}+10y+15+6\\&=48y^{4}+12y^{2}+27+48y^{3}+72y^{2}+36y+20y^{2}+10y+15+6\\&=48y^{4}+48y^{3}+104y^{2}+46y+48.\,\end{aligned}}

Aufgabe (4 Punkte)

Welche Arten von Gleichungen kennen Sie? Geben Sie typische Beispiele.

Lösung

Siehe hier.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für zwei von ${}0$ verschiedene ganze Zahlen ${}x,y$ auch das Produkt ${}x\cdot y$ von ${}0$ verschieden ist.

Lösung

Eine von ${}0$ verschiedene ganze Zahl ist entweder positiv oder negativ. Wenn beide Zahlen positiv sind, so ergibt sich diese Aussage direkt aus Lemma 9.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)). Wenn eine Zahl positiv und die andere negativ ist, so kann man (ohne Einschränkung) ${}x=-z$ mit ${}z$ positiv ansetzen. Es ist dann nach der Definition der Multiplikation

{}x\cdot y=-(z\cdot y)\neq 0\,.

Wenn beide Zahlen negativ sind, so ist ${}x=-z$ und ${}y=-w$ mit ${}z,w$ positiv. Dann ist wieder

{}x\cdot y=z\cdot w\neq 0\,.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Lösung

Eine ungerade Zahl ${}n$ besitzt die Form ${}n=2k+1$ mit einer ganzen Zahl ${}k$ . Somit ist

{}{\begin{aligned}25n^{2}-17&=25(2k+1)^{2}-17\\&=25(4k^{2}+4k+1)-17\\&=25\cdot 4\cdot k(k+1)+25-17\\&=25\cdot 4\cdot k(k+1)+8.\end{aligned}}

Die ${}8$ hinten ist ein Vielfaches von ${}8$ . Genau eine der beiden Zahlen ${}k$ und ${}k+1$ ist gerade, also von der Form ${}2m$ . Daher ist ${}4\cdot k(k+1)$ ein Vielfaches von ${}8$ und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von ${}8$ .