Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/T2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 3 4 6 3 5 4 4 2 2 7 1 2 4 2 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Multiplikation von natürlichen Zahlen .
  2. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  3. Die Differenz von natürlichen Zahlen mit .
  4. Zwei teilerfremde natürliche Zahlen und .
  5. Der Binomialkoeffizient .
  6. Die Multiplikation von ganzen Zahlen.


Lösung

  1. Das Produkt ist definiert als die -fache Summe der Zahl mit sich selbst.
  2. Die Relation heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .
  3. Die Differenz ist diejenige natürliche Zahl für die gilt.
  4. Die beiden natürlichen Zahlen und heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler besitzen.
  5. Der Binomialkoeffizient ist durch

    definiert.

  6. Die ganzen Zahlen haben die Form und mit natürlichen Zahlen . Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
  2. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
  3. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.


Lösung

  1. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
  2. Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
  3. Sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit


Aufgabe (2 Punkte)

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.


Lösung

Die Primfaktorzerlegung von ist

Die beiden gesuchten Zahlen müssen also Teiler davon sein, also von der Form mit . Da die Summe ungerade ist, besitzt die eine Zahl die Form

Dies führt auf die und .


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen mit und . Zeige, dass dann ist und dass

ist.


Lösung

Die Abschätzung ergibt sich aus

Es ist

Somit erfüllt die für charakteristische Eigenschaft und muss damit übereinstimmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl die Abschätzung

gilt.


Lösung

Für ergibt sich die Abschätzung durch direktes Nachrechnen. Für wird die Aussage durch Induktion bewiesen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für ein schon bewiesen ist und haben sie für zu zeigen. Dies ergibt sich aus

wobei wir in der zweiten Zeile die Induktionsvoraussetzung, in der vierten Zeile die Voraussetzung und in der fünften Zeile die binomische Formel angewendet haben.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge und der Produktmenge .


Lösung

Wir betrachten die Abbildungen

und

und behaupten, dass diese beiden Abbildungen zueinander invers sind. Die Verknüpfung sendet insgesamt eine Teilmenge auf

Die Inklusion

ist dabei klar. Wenn umgekehrt liegt, so ist aufgrund der Voraussetzung oder und damit ist auch . Daher ist die Identität.

Die Verknüpfung sendet insgesamt ein Paar bestehend aus Teilmengen und auf

Wir behaupten

(und entsprechend für die zweite Komponente). Dabei ist die Inklusion klar. Wenn umgekehrt ist, so ist und . Wegen und der Disjunktheit von und kann nicht zu gehören, also ist . Daher ist auch die Identität.


Aufgabe (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit (vordere Tafel), (mittlere Tafel) und (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.


Lösung

Die Tafeln und sind nicht gleichzeitig sichtbar, da (mindestens) eine davon durch verdeckt wird. Dagegen sind sowohl und ( wird hinter geschoben) als auch und gleichzeitig einsehbar. Eine Beschreibungsreihenfolge erfüllt also genau dann die angegebene Bedingung, wenn und nicht direkt hintereinander beschrieben werden. Dies wird genau dann erreicht, wenn als zweite Tafel beschrieben wird. Erlaubt sind also die beiden Reihenfolgen und .


Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

Ein Cocktailmixer verfügt über zwei Verarbeitungstechniken, nämlich schütteln und rühren, wobei in jedem Arbeitsgang stets zwei Grundzutaten bzw. Zwischenprodukte miteinander verarbeitet werden. Bei jedem Cocktail wird jede Grundzutat bei genau einem Arbeitsvorgang verarbeitet (wobei die dabei entstehenden Zwischenprodukte weiterverarbeitet werden können). Als Grundzutaten stehen Orangensaft, Zitronensaft, Pfefferminzblätter und Rum zur Verfügung.

  1. Beschreibe die Zubereitung eines Cocktails, so dass jede Verarbeitungstechnik mindestens einmal vorkommt.
  2. Auf wie viele Arten kann er aus den Zutaten einen Cocktail mixen?


Lösung

  1. Eine Möglichkeit ist, zuerst den Rum mit dem Zitronensaft zusammen schütteln, dieses Zwischenprodukt mit den Pfefferminzblättern zusammen rühren und dieses Zwischenprodukt mit dem Orangensaft zusammen schütteln.
  2. Für die Verarbeitung gibt es grundsätzlich die beiden skizzierten Verarbeitungsbäume.
    Baum1.png
    Baum2.png

    An den äußeren „Blättern“ gehen die Grundzutaten ein, und an jeder Vereinigungstelle kann geschüttelt oder gerührt werden. Betrachten wir zunächst den linken Verarbeitungsbaum. Da die Situation symmetrisch ist, kann man ohne Einschränkung sagen, dass eine fixierte Zutat (beispielsweise der Orangensaft) im linken Paar verarbeitet wird. Daher gibt es im Wesentlichen drei Möglichkeiten, wie die Zutaten paarweise aufgeteilt werden. Für jede Zutatenaufteilung kann man sich in jedem Verarbeitungsschritt entscheiden, ob man schüttelt oder rührt. Somit gibt es Möglichkeiten im linken Verarbeitungsbaum.

    Betrachten wir nun den rechten Verarbeitungsbaum. Es gibt zweielementige Teilmengen und somit sechs Auswahlmöglichkeiten für das zuerst zu verarbeitende Zutatenpaar. Für die mit dem daraus resultierenden Zwischenprodukt zu verarbeitende Zutat gibt es jeweils zwei Möglichkeiten, also gibt es Möglichkeiten für die Zutatenreihenfolge. Unter Berücksichtigung der Verarbeitungstechniken gibt es hier somit . Insgsamt gibt es also mögliche Cocktails.


Aufgabe (4 Punkte)

Die Räuberbande „Robin Hood“ besteht aus fünf Personen. Sie legt für ihr Diebesgut eine Schatztruhe an, die sie mit verschiedenen Schlössern sichern möchte, wobei die (mehrfachen) Schlüssel an die Mitglieder verteilt werden sollen. Dabei soll erreicht werden, dass je zwei Bandenmitglieder allein nicht an den Schatz kommen, dass aber je drei Bandenmitglieder die Truhe aufschließen können. Wie viele Schlösser braucht man dafür und wie müssen die Schlüssel verteilt werden?


Lösung Räuberbande/Schatztruhe/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Rest von bei Division durch .


Lösung

Die folgenden Zahlen haben bei Division durch den gleichen Rest.

Der Rest ist also .


Aufgabe (2 Punkte)

Führe im Dreiersystem die Addition

schriftlich durch.


Lösung

Es ist


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass das schriftliche Addieren korrekt ist.


Lösung

Die beiden Zahlen seien

wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen ein schrittweises Invarianzprinzip des schriftlichen Addierens, nämlich, dass nach dem -ten Schritt (), wenn die hinteren Ziffern und die Übertragsziffern schon berechnet sind, dass dann die jeweilige Summe

konstant ist (also nicht von abhängt), und zwar gleich . Diese Summen beschreiben eine Momentaufnahme des Algorithmus zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei bedeutet der Schritt , dass noch keine Rechnung durchgeführt wurde. Am Anfang, bei , sind die beiden hinteren Summanden nicht vorhanden und vorne stehen und komplett, die Summe ist also . Die Konstanz der Summen beweisen wir durch Induktion nach , wobei wir den Fall

soeben behandelt haben. Sei nun die Konstanz

bereits bewiesen, und wir verarbeiten die -Stelle. Gemäß dem Algorithmus addiert man

und schreibt dies als

mit Somit ist

Wenn man in der Summe die linke Seite der vorstehenden Gleichung durch die rechte Seite ersetzt, so erhält man gerade , was die Gleichheit zeigt. Wenn man hinreichend groß nimmt, hat man und verbraucht und die Summe besteht dann allein aus der durch die Ziffern gebildeten Zahl. Dies stimmt also mit der Summe überein.


Aufgabe (1 Punkt)

Ersetze im Ausdruck

simultan die Buchstaben durch , durch , durch , durch , durch , durch , durch .


Lösung

Dier Ersetzung der Buchstaben in

führt auf


Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Welche Arten von Gleichungen kennen Sie? Geben Sie typische Beispiele.


Lösung

Siehe hier.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für zwei von verschiedene ganze Zahlen auch das Produkt von verschieden ist.


Lösung

Eine von verschiedene ganze Zahl ist entweder positiv oder negativ. Wenn beide Zahlen positiv sind, so ergibt sich diese Aussage direkt aus Fakt *****. Wenn eine Zahl positiv und die andere negativ ist, so kann man (ohne Einschränkung) mit positiv ansetzen. Es ist dann nach der Definition der Multiplikation

Wenn beide Zahlen negativ sind, so ist und mit positiv. Dann ist wieder


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.


Lösung

Eine ungerade Zahl besitzt die Form mit einer ganzen Zahl . Somit ist

Die hinten ist ein Vielfaches von . Genau eine der beiden Zahlen und ist gerade, also von der Form . Daher ist ein Vielfaches von und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Lösung

Der Euklidische Algorithmus liefert:

Die Zahlen und sind also teilerfremd.