Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 12/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Anzahl der Teiler der Zahlen

1,2,3,\ldots ,20.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ${}n^{2}-1$ ungerade oder aber durch ${}8$ teilbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ${}n^{2}-n$ stets gerade ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen ${}25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge von ${}n$ Äpfeln und ${}P$ eine Menge von ${}t$ Personen. Begründe, dass man die Apfelmenge genau dann gerecht auf die Personen aufteilen kann, wenn ${}t$ ein Teiler von ${}n$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bringe die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl ${}n$ durch eine natürliche Zahl ${}t$ mit dem Begriff der Produktmenge in Zusammenhang.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen und es gelte, dass ${}bc$ ein Vielfaches von ${}ac$ sei. Ferner sei ${}c\neq 0$ . Zeige, dass dann ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist.

Aufgabe Aufgabe 12.8 ändern

Es seien ${}a\leq b$ natürliche Zahlen, die beide von ${}c$ geteilt werden. Zeige, dass auch die Differenz ${}b-a$ von ${}c$ geteilt wird.

Aufgabe Aufgabe 12.9 ändern

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}r$ sei die kleinste natürliche Zahl mit ${}r^{2}\geq n$ . Zeige, dass bei einer Faktorzerlegung ${}n=ab$ stets ${}a\leq r$ oder ${}b\leq r$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b$ positive natürliche Zahlen. Stifte eine Bijektion zwischen der Menge aller Vielfachen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} a} und der Menge aller Vielfachen von ${}b$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien drei verschiedene Zahlen ${}a,b,c>1$ gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt ${}a\cdot b\cdot c$ minimal?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

{}Z=\{1,2,4,8,16,\ldots \}\,

die Menge aller Zweierpotenzen. Definiere eine Bijektion

\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow Z

derart, dass ${}k\leq n$ genau dann gilt, wenn ${}\varphi (k)$ die Zahl ${}\varphi (n)$ teilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.

Die folgende Aufgabe beschreibt, wie sich in Lemma 12.3 unter den gegebenen Teilbarkeitsvoraussetzungen die Brüche verhalten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Für jede natürliche Zahl ${}a$ gilt ${}{\frac {a}{1}}=a$ und bei ${}a\neq 0$ gilt auch ${}{\frac {a}{a}}=1$ .
Für jede natürliche Zahl ${}a\neq 0$ gilt ${}{\frac {0}{a}}=0$ .
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}b\,{|}\,c$ , so gilt auch ${}a\,{|}\,c$ und es ist (bei $a,b\neq 0$ )
${}{\frac {c}{a}}={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {c}{b}}\,.$
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}c\,{|}\,d$ , so gilt auch ${}ac\,{|}\,bd$ und es ist (bei $a,c\neq 0$ )
${}{\frac {bd}{ac}}={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {d}{c}}\,.$
Gilt ${}a\,{|}\,b$ , so gilt auch ${}ac\,{|}\,bc$ für jede natürliche Zahl ${}c$ , und es ist (bei ${}a,c\neq 0$ )
${}{\frac {bc}{ac}}={\frac {b}{a}}\,$
Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}a\,{|}\,c$ , so gilt auch ${}a\,{|}\,{\left(rb+sc\right)}$ für beliebige natürliche Zahlen ${}r,s$ , und es ist (bei $a\neq 0$ )
${}{\frac {rb+sc}{a}}=r{\frac {b}{a}}+s{\frac {c}{a}}\,.$

Die folgende Aufgabe sollte man in Analogie zu Lemma 10.12 sehen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b,c,d$ natürliche Zahlen. Zeige die folgenden Aussagen.

Es sei ${}b$ ein Teiler von ${}a$ . Dann ist
${}b\cdot c\cdot {\frac {a}{b}}=c\cdot a\,$

für ${}b\neq 0$ .
Es sei ${}b$ ein Teiler von ${}a$ und ${}d$ ein Teiler von ${}c$ mit ${}b,d\neq 0$ . Dann ist
${}{\frac {ac}{bd}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}\,.$

Insbesondere gelten, wenn ${}b$ ein Teiler von ${}a$ ist, die Beziehungen (mit ${}b,c\neq 0$ )

${}{\frac {ac}{bc}}={\frac {a}{b}}\,$

und

${}{\frac {ac}{b}}={\frac {a}{b}}\cdot c\,.$
Es sei ${}b\neq 0$ ein Teiler von ${}a\neq 0$ und ${}a$ ein Teiler von ${}bc$ . Dann ist ${}{\frac {a}{b}}$ ein Teiler von ${}c$ und es ist
${}{\frac {\,\,c\,\,}{\,\,{\frac {a}{b}}\,\,}}={\frac {cb}{a}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es gibt ${}24$ Schokoriegel und ${}16$ Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}105$ und ${}150$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}t$ ein Teiler von ${}n$ . Was ist der größte gemeinsame Teiler von ${}t$ und ${}n$ und was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}t$ und ${}n$ ?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne den Ausdruck

n^{2}+n+41

für ${}n=0,1,2,\ldots$ . Handelt es sich dabei um Primzahlen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man jede natürliche Zahl ${}n\geq 12$ als Summe

{}n=a+b\,

schreiben kann, wobei sowohl ${}a$ als auch ${}b$ zusammengesetzte Zahlen sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1025$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${}n^{2}-1$ eine Primzahl?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde die kleinste Zahl ${}N$ der Form ${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{r}+1$ , die keine Primzahl ist, wobei ${}p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$ die ersten ${}r$ Primzahlen sind.