Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 52/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

die genau zwei Werte annimmt.




Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien

stetige Funktionen mit und . Zeige, dass es einen Punkt mit gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die reelle Zahl eine Nullstelle des Polynoms ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es gibt ein Polynom , , mit ganzzahligen Koeffizienten und mit .
  2. Es gibt ein Polynom , , mit .
  3. Es gibt ein normiertes Polynom mit .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Unterkörper. Zeige, dass für der Zwischenwertsatz nicht gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Dedekindscher Schnitt und sei

durch

definiert. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn eine irrationale Zahl beschreibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht offen sein muss.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein reelles Intervall und

eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

eine bijektive stetige Funktion zwischen den reellen Intervallen und . Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass durch

eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung

gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der Folge


Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.

Es sei eine Menge und

eine Abbildung. Ein Element mit heißt Fixpunkt der Abbildung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Polynom vom Grad , . Zeige, dass maximal Fixpunkte besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine stetige Funktion und es gebe mit

und

Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist und dass für jede rationale Zahl auch rational ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass das Bild von sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist. Zeige, dass surjektiv ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetige Funktion des Intervalls in sich. Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.


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