Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 53/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne
bis auf einen Fehler von .
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch
definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine monotone Funktion und es sei
die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass auf nicht unbedingt mit übereinstimmen muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine monotone Funktion und es sei
die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ebenfalls monoton ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetige monotone Funktion und es sei
die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass auf mit übereinstimmt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist für alle .
- Es ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für ist streng wachsend.
- Für ist streng fallend.
- Es ist für alle .
- Für ist .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetige Funktion , die die Gleichung
für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Berechne
bis auf einen Fehler von .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Vergleiche die beiden Zahlen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne
bis auf einen Fehler von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine Exponentialfunktion
aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige
Skizziere die Situation.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Skizziere die Graphen zu den Funktionen
für auf .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Ordne die Zahlen
gemäß ihrer Größe.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Exponentialreihe
Zeige, dass die Ableitung von mit übereinstimmt. Verwende dabei, dass in diesem Fall die Ableitung einer unendlichen Summe von Polynomen gleich der Summe der einzelnen Ableitungen ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion
mit und mit für alle , die von verschieden ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man bastle einen Rechenschieber, der die Multiplikation von positiven reellen Zahlen ausführt.
Aufgabe Aufgabe 53.23 ändern
Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.
- Es gilt .
- Es gilt für .
- Es gilt
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion
mit der Eigenschaft, dass es keine stetige Funktion
gibt, die auf mit übereinstimmt.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein reelles mit für alle gibt.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Vergleiche
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne
bis auf einen Fehler von .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne mit Hilfe der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von .
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