Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 12

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Teiler der Zahlen




Übungsaufgaben

Aufgabe

Sortieren Sie in Ihrem Kopf die Formulierungen „ teilt “, „ ist ein Teiler von “, „ ist ein Vielfaches von “, „ wird von geteilt“, „ kann man durch teilen“, „ ist durch teilbar“.


Aufgabe

Es sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass ungerade oder aber durch teilbar ist.


Aufgabe

Es sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass stets gerade ist.


Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.


Aufgabe

Es sei eine Menge von Äpfeln und eine Menge von Personen. Begründe, dass man die Apfelmenge genau dann gerecht auf die Personen aufteilen kann, wenn ein Teiler von ist.


Aufgabe

Bringe die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl mit dem Begriff der Produktmenge in Zusammenhang.


Aufgabe *

Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung

eine möglichst natürliche Zerlegung dieser Körperteile in Teilmengen mit je Elemente an.


Aufgabe

Es sei eine Menge mit Elementen und eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist ein Teiler von .
  2. Es gibt eine Zerlegung von in disjunkte Teilmengen , wobei sämtliche beteiligten Teilmengen genau Elemente besitzen.
  3. Es gibt eine Zerlegung von in disjunkte Teilmengen.


Aufgabe

Interpretiere Aufgabe 12.9 für den Fall .


Aufgabe

Es seien natürliche Zahlen und es gelte, dass ein Vielfaches von sei. Ferner sei . Zeige, dass dann ein Vielfaches von ist.


Aufgabe

Es seien natürliche Zahlen, die beide von geteilt werden. Zeige, dass auch die Differenz von geteilt wird.


Aufgabe

Es sei eine natürliche Zahl und sei die kleinste natürliche Zahl mit . Zeige, dass bei einer Faktorzerlegung stets oder gilt.


Aufgabe

Es seien positive natürliche Zahlen. Stifte eine Bijektion zwischen der Menge aller Vielfachen von und der Menge aller Vielfachen von .


Aufgabe *

Es seien drei verschiedene Zahlen gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt minimal?


Aufgabe

Es sei

die Menge aller Zweierpotenzen. Definiere eine Bijektion

derart, dass genau dann gilt, wenn die Zahl teilt.


Aufgabe

Erläutere, warum die Formulierung „Die teilt die , man kann die aber nicht durch die teilen“ sich zwar paradox anhört, aber korrekt ist. Tipp: Verwende die Konzepte Relation und Abbildung (bzw. Verknüpfung).


Aufgabe

Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.


Die folgende Aufgabe beschreibt, wie sich in Lemma 12.3 unter den gegebenen Teilbarkeitsvoraussetzungen die Brüche (wir haben also nach wie vor keine rationalen Zahlen) verhalten.

Aufgabe

  1. Für jede natürliche Zahl gilt und bei gilt auch .
  2. Für jede natürliche Zahl gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch und es ist (bei )
  4. Gilt und , so gilt auch und es ist (bei )
  5. Gilt , so gilt auch für jede natürliche Zahl , und es ist (bei )
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige natürliche Zahlen , und es ist (bei )


Die folgende Aufgabe sollte man in Analogie zu Lemma 10.14 sehen.

Aufgabe

Es seien natürliche Zahlen. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es sei ein Teiler von . Dann ist

    für .

  2. Es sei ein Teiler von und ein Teiler von mit . Dann ist

    Insbesondere gelten, wenn ein Teiler von ist, die Beziehungen (mit )

    und

  3. Es sei ein Teiler von und ein Teiler von . Dann ist ein Teiler von und es ist


Aufgabe *

Es gibt Schokoriegel und Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?


Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Aufgabe

Es sei ein Teiler von . Was ist der größte gemeinsame Teiler von und und was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von und ?


Aufgabe

Es seien ganze Zahlen. Zeige für den größten gemeinsamen Teiler die Gleichung


Aufgabe

Berechne den Ausdruck

für . Handelt es sich dabei um Primzahlen?


Aufgabe

Zeige, dass man jede natürliche Zahl als Summe

schreiben kann, wobei sowohl als auch zusammengesetzte Zahlen sind.


Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe *

Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?


Aufgabe

Finde die kleinste Zahl der Form , die keine Primzahl ist, wobei die ersten Primzahlen sind.


Aufgabe

Finde einen Primfaktor der Zahl .


Aufgabe

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen


Aufgabe *

Man gebe zwei Primfaktoren von an.


Aufgabe

Welche natürliche Zahlen haben bezüglich der Addition die zur Primeigenschaft (die ja unter Bezug auf die Multiplikation definiert ist) analoge Eigenschaft? Gilt die eindeutige Zerlegung in „Primsummanden“?


Aufgabe

Es sei eine Menge und . Wir betrachten auf den Durchschnitt als Verknüpfung mit der Gesamtmenge als neutralem Element.

  1. Was bedeutet in diesem Fall die Teilbarkeitsbeziehung, die analog zur Teilbarkeit in zu definieren ist?
  2. Was sind die „Primelemente“ in ?
  3. Gibt es stets eine Faktorzerlegung in Primelemente?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl mit zwei Faktorzerlegungen

Es sei . Zeige, das dann sein muss.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Teiler von und ein Teiler von . Zeige, dass ein Teiler von ist und dass

gilt.


Koulourakia.jpg

Aufgabe (3 Punkte)

Zum neunten Geburtstag ihres Enkels Mustafa backt Oma Müller für die Geburtstagsparty ihre beliebten Geburtstagskekse. Mustafa hat Kinder aus seiner Klasse eingeladen, mit ihm werden es maximal Kinder sein. Es ist aber nicht klar, ob alle kommen. In jedem Fall will Oma Müller sicher sein, dass jedes Kind genau gleich viele Kekse bekommt. Wie viele Kekse backt sie? (die Lösung, gar keine Kekse zu backen, würden die Kinder nicht verstehen.)


Aufgabe (3 Punkte)

Finde einen Primfaktor der Zahl .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es außer kein weiteres Zahlentripel der Form gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Finde fünf natürliche Zehnerintervalle , die jeweils vier Primzahlen enthalten.



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